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目录:
1.全序和偏序
2.拓扑排序的方法
3.拓扑排序C语言完整代码实现
4.拓扑排序小结

1.全序和偏序

拓扑排序指的是将有向无环图（又称“DAG”图）中的顶点按照图中指定的先后顺序进行排序。

例如，上图中的两个图都是有向无环图，都可以使用拓扑排序对图中的顶点进行排序，两个图形的区别是：左图中的 V2 和 V3之间没有明确的前后顺序；而右图中任意两个顶点之间都有前后顺序。

所以，左图中顶点之间的关系被称为“偏序”关系；右图中顶点之间的关系被称为”全序“关系。全序是偏序的一种特殊情况。对于任意一个有向无环图来说，通过拓扑排序得到的序列首先一定是偏序，如果任意两个顶点都具有前后顺序，那么此序列是全序。

2.拓扑排序的方法

对有向无环图进行拓扑排序，只需要遵循两个原则：

在图中选择一个没有前驱的顶点 V；
从图中删除顶点 V 和所有以该顶点为尾的弧

上面左图拓扑排序如下：

对于此图来说，拓扑排序有两种：

1.V1 -> V2 -> V3 -> V4
2.V1 -> V3 -> V2 -> V4
如果顶点之间只是具有偏序关系，那么拓扑排序的结果肯定不唯一；如果顶点之间是全序关系，那么拓扑排序得到的序列唯一

有向无环图如果顶点本身具有某种实际意义，例如用有向无环图表示大学期间所学习的全部课程，每个顶点都表示一门课程，有向边表示课程学习的先后次序，例如要先学《程序设计基础》和《离散数学》，然后才能学习《数据结构》。所以用来表示某种活动间的优先关系的有向图简称为“AOV 网”。

3.拓扑排序C语言完整代码实现

在编写程序解决拓扑排序的问题时，大致思路为：首先通过邻接表将 AOV 网进行存储，由于拓扑排序的整个过程中，都是以顶点的入度为依据进行排序，所以需要根据建立的邻接表统计出各顶点的入度。在得到各顶点的入度后，首先找到入度为 0 的顶点作为拓扑排序的起始点，然后查找以该顶点为起始点的所有顶点，如果入度为 1，说明如果删除前一个顶点后，该顶点的入度为 0，为拓扑排序的下一个对象

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数
#define VertexType int//顶点数据的类型
typedef enum{false,true} bool;
typedef struct ArcNode{int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接点的指针
}ArcNode;
typedef struct VNode{VertexType data;//顶点的数据域ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//存储各链表头结点的数组
typedef struct {AdjList vertices;//图中顶点及各邻接点数组int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数和边或弧数
}ALGraph;
//找到顶点对应在邻接表数组中的位置下标
int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {if (G.vertices[i].data==u) {return i;}}return -1;
}
//创建 AOV 网，构建邻接表
void CreateAOV(ALGraph **G){*G=(ALGraph*)malloc(sizeof(ALGraph)); scanf("%d,%d",&((*G)->vexnum),&((*G)->arcnum));for (int i=0; i<(*G)->vexnum; i++) {scanf("%d",&((*G)->vertices[i].data));(*G)->vertices[i].firstarc=NULL;}VertexType initial,end;for (int i=0; i<(*G)->arcnum; i++) { scanf("%d,%d",&initial,&end);ArcNode *p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=LocateVex(*(*G), end);p->nextarc=NULL;int locate=LocateVex(*(*G), initial);p->nextarc=(*G)->vertices[locate].firstarc;(*G)->vertices[locate].firstarc=p;}
}
//结构体定义栈结构
typedef struct stack{VertexType data; struct stack * next;
}stack;
//初始化栈结构
void initStack(stack* *S){(*S)=(stack*)malloc(sizeof(stack));
(*S)->next=NULL;
}
//判断链表是否为空
bool StackEmpty(stack S){if (S.next==NULL) { return true;}return false;
}
//进栈，以头插法将新结点插入到链表中
void push(stack *S,VertexType u){stack *p=(stack*)malloc(sizeof(stack));p->data=u;p->next=NULL;p->next=S->next;S->next=p;
}
//弹栈函数，删除链表首元结点的同时，释放该空间，并将该结点中的数据域通过地址传值给变量 i; void pop(stack *S,VertexType *i){ stack *p=S->next; *i=p->data;S->next=S->next->next;free(p);
}
//统计各顶点的入度
void FindInDegree(ALGraph G,int indegree[]){//初始化数组，默认初始值全部为 0for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {indegree[i]=0;}
//遍历邻接表，根据各链表中结点的数据域存储的各顶点位置下标，在 indegree 数组相应位置+1for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {ArcNode *p=G.vertices[i].firstarc; while (p) {indegree[p->adjvex]++;p=p->nextarc;}
}
}
void TopologicalSort(ALGraph G){int indegree[G.vexnum];//创建记录各顶点入度的数组FindInDegree(G,indegree);//统计各顶点的入度
//建立栈结构，程序中使用的是链表stack *S;initStack(&S);
//查找度为 0 的顶点，作为起始点for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {if (!indegree[i]) {push(S, i);}}int count=0;
//当栈为空，说明排序完成while (!StackEmpty(*S)) {int index;
//弹栈，并记录栈中保存的顶点所在邻接表数组中的位置pop(S,&index);printf("%d",G.vertices[index].data);++count;
//依次查找跟该顶点相链接的顶点，如果初始入度为 1，当删除前一个顶点后，该顶点入度为 0for (ArcNode *p=G.vertices[index].firstarc; p; p=p->nextarc) {VertexType k=p->adjvex;if (!(--indegree[k])) {//顶点入度为 0，入栈push(S, k);}}}
//如果 count 值小于顶点数量，表明该有向图有环if (count<G.vexnum) {printf("该图有回路"); return;}
}
int main(){ALGraph *G;CreateAOV(&G);//创建 AOV 网TopologicalSort(*G);//进行拓扑排序return 0;
}

对于下面例子

进行拓扑排序：

//输入
6,8
1
2
3
4
5
6
1,2
1,4
1,3
3,2
3,5
4,5
6,4
6,5
//输出
6 1 4 3 2 5

4.拓扑排序小结

对于含有n个顶点和e条边的有向图而言，建立求各个顶点的入度的时间复杂度为O(e);建立0入度顶点栈的时间复杂度为O(n),在拓扑排序中若有向图无环，则每个顶点进一次栈出一次栈，所以总的时间复杂度为O(n+e)

本篇博客转载C语言中文网

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