一、题目描述

设A是顶点为0，1，…，n-1的n凸多边形，可以用不在内部相交的n-3条对角线将A划分成三角形，如下图就是5边形的所有的划分方案.假设凸n边形的边及对角线的长度d_ij，都是给定的正整数，0≤i<j≤n-1.划分后三角形ijk的权值等于其周长，求具有最小权值的划分方案.设计一个动态规划算法求解这个问题，说明算法的时间复杂度.

示例1：

输入：d = [  [0,2,3,1,5,6],[2,0,3,4,8,6],[3,3,0,10,13,7],[1,4,10,0,12,5],[5,8,13,12,0,3],[6,6,7,5,3,0]]
输出：54

二、解题思路

1. 定义状态

为了应用动态规划，我们需要将多边形切成小块.可以观察到，所输入的多边形每条边都肯定只能归属于一个三角形.将这条边要变为一个三角形意味着得确定第三个顶点，如上图所示.一旦我们找到正确的连接顶点，多边形的剩余部分就会被划分为两个小块，而这两块都需要进行最优的三角剖分.令dp[i][j]为从顶点v_i到顶点v_j进行三角剖分所需的费用，计入从v_i到v_j的弦长.递推式如下：

dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+dik+dkj+dij)dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + d_{ik} + d_{kj} + d_{ij})dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+dik+dkj+dij)

2. 定义状态转移方程

当j - i = 1时，有

dp[i][j]=0dp[i][j] = 0 dp[i][j]=0

当j - i > 1时，有

dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+dik+dkj+dij),i<k<jdp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + d_{ik} + d_{kj} + d_{ij}),i < k < jdp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+dik+dkj+dij),i<k<j

3. 初始化

当j - i = 1时，有dp[i][j]=0dp[i][j] = 0dp[i][j]=0

4. 计算方式

自底向上，自左向右计算dp数组

三、代码实现

/*** 最小三角权剖分**  @author hh*  @date 2021-5-24 23:35*/
public class MinWeightTriangulation {public int minWeight(int[][] d){int[][] dp = new int[d.length][d[0].length];for(int i = d.length - 1; i >= 0; i--){for(int j = 0; j < d[0].length; j++){if(j - i == 1){dp[i][j] = 0;continue;}dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;for(int k = i + 1; k < j; k++){dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k][j] + d[i][k] + d[k][j] + d[i][j]);}}}return dp[0][d[0].length -1];}public static void main(String[] args){int[][] d = new int[][]{{0,2,3,1,5,6},{2,0,3,4,8,6},{3,3,0,10,13,7},{1,4,10,0,12,5},{5,8,13,12,0,3},{6,6,7,5,3,0}};MinWeightTriangulation minWeightTriangulation = new MinWeightTriangulation();System.out.println(minWeightTriangulation.minWeight(d));}
}

四、执行结果

五、思考

本题和字符串切分、矩阵链乘法的做法非常相似,也是非常经典的，都是对dp数组进行线性划分，读者有时间可以看我的另一篇文章动态规划经典题目-字符串切分、动态规划经典题目-矩阵链乘法，进行举一反三。

动态规划经典题目-最小权三角剖分相关推荐

动态规划经典题目_动态规划经典题目：鸡蛋掉落（附视频讲解）
题目: 思路: 先放上视频讲解动态规划经典题目:鸡蛋掉落https://www.zhihu.com/video/1225199247848513536 纠正:视频里的状态转移方程漏写了一个+1,意思 ...
动态规划经典题目-数据压缩之图像压缩
文章目录一.题目描述二.解题思路 1. 定义状态 2. 定义状态转移方程 3. 初始化 4. 计算方式三.代码实现四.执行结果五.思考一.题目描述计算机中的图像由一系列像点构成,每个 ...
动态规划经典题目——最大子矩阵和
一.题目题目描述:现给出一个N*N矩阵,要求求出拥有最大和的子矩阵的和.例子如下图所示: 它的最大子矩阵的和为15: 二.解题思路此题的解法与动态规划经典题目--最大连续子序列之和题目思想一样,只 ...
动态规划经典题目整理
动态规划经典题目整理背包问题最长公共子串问题连续数组最大和问题持续增加中.... 背包问题复杂度 O(nW)O(nW)O(nW) nnn为物品种类,WWW是背包的重量目的:使得背包中的物品 ...
poj动态规划经典题目
列表一:经典题目题号: 容易: 1018, 1050, 1088, 1125, 1143, 1157, 1163, 1178, 1179, 1189, 1191,1208, 1276, 1322, 1 ...
动态规划经典题目汇总
http://www.cppblog.com/doer-xee/archive/2009/12/05/102629.html 转载之前先Orz一下: [s:19] Robberies http://a ...
动态规划经典题目总结
微信公众号在算法中,动态规划题目算是比较经典的一类题目.在找工作中,不管是笔试,还是面试,我们经常会遇到用动态规划来解决问题的情况,有时候面试官还需要我们现场手写出动态规划解法的代码.因此,在求职中 ...
动态规划经典题目——数塔问题
一.题目数塔问题 :要求从顶层走到底层,若每一步只能走到相邻的结点,则经过的结点的数字之和最大是多少? 二.解题思路动态规划解题思路可详见另一篇文章.数塔中元素用二维数组a[][]表示 ①定义状态 ...
动态规划经典题目-找零钱的最少硬币数
文章目录一.题目描述二.解题思路(朴素版本) 1. 定义状态 2. 定义状态转移方程 3. 初始化三.代码实现四.优化五.执行结果一.题目描述美国的硬币按照面值1, 5, 10, 2 ...

动态规划经典题目-最小权三角剖分

文章目录