第三讲，我们来谈谈：“二进制的负数”

首先，你要记住并且不要问为什么：“在计算机中，所有的数据，最终都是使用二进制数表达的。”

还要记住并且不要问为什么：“在计算机中，正数是直接用原码来表示和存储的。”

要记住并且不要问为什么：“在计算机中，负数是以它的补码(即它的反码+1)来表示和存储的。”

对于允许是负数的数值(称为带符号的数值)，必须先确定一个固定的长度(换言之，就是二进制数的位数)，再把最左边的最高位设置为符号位。必须固定位数，这样才能避免符号位与其他位的混淆。

只要知道每个数值的位数，就可以找到符号位，它应是最左边的那一位。如果符号位是0，该数值就是正的；如果它是1，该数值就是负的。

⑴原码表示法规定：套用十进制的思路，用最左边的最高位来表示该数的符号位（0表示正数，1表示负数），剩余的其他位数用来表示该数的绝对值。（关键：理解符号位和其他位数）

⒈原码：一个整数，按照其绝对值大小转换成二进制数，并在最左边的最高位用0或1来表示其正负，称为原码。

例①：正数 5 的原码是：0000 0101。

而负数 -5 的原码是：1000 0101。

⒉反码：将原码，除符号位外的其他位数每一位按位取反，所得到的新的二进制数，称为反码。（口诀：符号位不变，其他位取反）

⑵反码表示法规定：零、正数的反码与原码相同，负数的反码为对该数的原码除符号位外每一位取反。

例②：正数 5 的反码与原码相同：0000 0101。

而负数 -5 的原码是：1000 0101，对该数的原码除符号位外每一位取反，得到反码：1111 1010。

⒊补码：反码加1，称为补码。（口诀：符号位不变，其他位先取反再加1）

⑶补码表示法规定：零、正数的补码与原码相同，负数的补码为对该数的原码除符号位外每一位取反，然后在最后一位加1。

例③：正数 5 的补码与原码相同：0000 0101。

而负数 -5 的原码是：1000 0101，对该数的原码除符号位外每一位取反，然后在最后一位加1，得到补码：1111 1011。

所以，在计算机中，负数 -5 是以它的补码(即它的反码+1)：1111 1011 来表示和存储的。

⑷不管是正数还是负数，其反码或补码的最高位，都是和原码的最高位一样！（请看原码表示法的规定，还有反码表示法和补码表示法的规定！）

因为，正数的反码或补码，都是与原码相同，所以最高位是不变的。

因为，负数的反码或补码，都是在原码的基础上，保持最高位不变，其他位数每一位取反，甚至在最后一位加1。

以上都是教我们，把我们熟悉的十进制的正数或负数，转化成计算机熟悉的二进制的数：

（十进制：原码->符号位不变，先取反->反码->再加1->补码）

那反过来，看到计算机熟悉的二进制的正数或负数，如何转换成我们熟悉的十进制的数？

（补码->先减1->反码->符号位不变，再取反->原码：十进制）

首先，要知道该二进制数的最高位：如果最左边的最高位（即符号位）为0则是正数，为1则是负数。

　　二进制的正数，要转换成十进制，请先将其写成“加权系数展开式”，然后用“按位权相加”法，即可转换成十进制。

　　二进制的负数，要转换成十进制，首先要理解上面的“在计算机中，负数是以它的补码(即它的反码+1)来表示和存储的”这句话的精髓，然后反过来逆推（符号位不变，其他位先减1再取反）：

例⑤：十进制的 -10 在原码表示法里，其原码是：1000 1010；对该数的原码除符号位外每一位取反，得到反码：1111 0101，然后在最后一位加1，得补码：1111 0110。

反过来逆推，二进制的 1111 0110（可理解为已知补码），先减1，得出（反码）：1111 0101；除符号位外每一位取反，得出（原码）：1000 1010；它在原码表示法里，最高位1表示负数，剩余的其他位数表示该数的绝对值，得：-10。

再看看逆推过程：

1111 0110

先 -1

---------

1111 0101

再取反：

---------

1000 1010 = 在原码表示法里，最高位1表示负数，剩余的其他位数表示该数的绝对值，得：-10。

（这是按照补码的原理来逆推原码。相当于只有0点和6点的钟，原来在0点，逆时针拨可到6点）

试试对该二进制数求补码：

1111 0110

先取反：

---------

1000 1001

再 +1

---------

1000 1010 = 用原码表示法来理解，也是十进制中的 -10。

（原码取反加1得补码，补码取反加1也得出原码。这是抖机灵。相当于只有0点和6点的钟，原来在0点，顺时针拨也可到6点）

⑸如果已知补码求原码，可将补码过程逆推（即符号位不变，其他位先减1再取反）即得到原码，亦可将该补码再求补码（即符号位不变，其他位先取反再加1）也能得到原码。

　　其实，看到某个二进制数，你可以理解为已经知道补码，只需用上面定律⑸求出原码，最后将原码转换成十进制，不就行了？

⑹一个二进制数，如果每位取反（最高位符号位也取反，所以不是反码），取反得到的值和原来的值，相加等于-1。（不是0，也不是1）

　　所以，求某个二进制数取反的值，可用：-1-（该二进制数的值），即该二进制数的值的相反数减1。

原码、反码、补码的使用

计算机中有三种编码方式表示一个数。

正数的三种编码都是相同的。如：

+1 = 0000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码] = 0000 0001 [补码]

负数的三种编码都是不同的。如：

-1 = 1000 0001 [原码] = 1111 1110 [反码] = 1111 1111 [补码]

只有原码才是可以直接被识别并且用于计算方式，那么反码和补码的作用又是什么？

人脑在进行计算的时候可以知道第一位是符号位，在计算的时候会根据符号位选择对真值的加减。

对于计算机来说，加减乘除是最基础的运算，要尽量设计的简单，计算机辨别出符号位会使得计算机的基础电路设计变得更加复杂，所以人们想出了将符号位也参与运算的方法。

减去一个正数等于加上一个负数，即 2-1 = 2+(-1)，所以机器只有加法而没有减法。符号位参与运算，只保留加法运算。

（一）原码运算：

十进制的运算：1-1=0

1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 1000 0010 [原码] = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，对于减法来说，结果显然是不正确的，所以计算机内部不使用原码来表示一个数字。

（二）反码运算：

为了解决原码做减法的问题，就引出了反码

十进制的运算：1-1=0

1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码] + 1111 1110 [反码] = 1111 1111 [反码] = 1000 0000 [原码] = -0

使用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，但是在 ‘0’这个特殊的数值上。虽然 +0和 -0在意义上是一样的，但是0加上符号是没有任何意义的，0000 0000[原码] 和1000 0000[原码] 这两个编码都表示0。

（三）补码运算：

补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题。

十进制的运算：1-1 =0

1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 0000 0001 [补码] + 1111 1111[补码] = 0000 0000[补码] = 0000 0000[原码] = 0

这样 0 用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 -0 就不存在了，而且可以用 [1000 0000] 表示 -128

(-1) + (-127) = 1000 0001[原码] + 1111 1111[原码] = 1111 1111[补码] + 1000 0001[补码] = 1000 0000[补码] = -128

-1-127 的结果应该是 -128，在用补码运算的结果中，1000 0000[补码] 就是-128，但是注意因为实际上使用 -0 的原码来表示 -128，所以 -128并没有补码和反码表示。

使用补码，不仅是修复了 0的符号以及存在两个编码问题，而且还能多表示一个最低数。

注意：

1、所以8 位的二进制，使用原码或是反码表示的范围为 [-127,+127]，使用补码表示的范围为 [-128,127]；

2、常用的32 位二进制，使用补码表示的范围为 [-231, 231-1] ，这是因为第一位表示的是符号位，使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

五、原码、反码、补码算术运算

（一）反码的算术运算

反码的运算注意问题：

1、反码运算时，符号位与数值一起参与运算；

2、反码的符号位相加后，如果有进位产生，就要·把进位送回到最低位相加（循环进位）；

3、用反码运算，其运算结果也为反码。在转换为真值时，若符号位为0，数位不变；若符号位为1，应将结果求反才是其真值。

[例1] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用反码计算Z = X-Y。

解： [X]反 = 01101，[-Y]反 = 11001，则[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 01101+11001+1（循环进位）= 00111 , 其真值为Z = +0111。

[例2] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用反码计算Z = X-Y。

解： [X]反 = 00110，[-Y]反 = 10010，则[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 00110 + 10010= 11000 , 其真值为Z = - 0111。

采取反码运算较好的解决了原码运算所遇到的困难或问题，但由于循环进位需要二次算术相加，延长了计算时间，这同样给电路带来麻烦。

而采用下述的补码运算则可避免循环进位的两次计算，同时，采用补码运算对溢出的判断也较采用反码简单的多，所以机器中的算术运算普遍采用补码运算

（二）补码的算术运算

补码要注意的问题：

1、补码运算时，其符号位与数值部分一起参加运算

2、补码的符号相加后，如果有进位的出现，需要将这个进位舍去（自然丢失）

3、用补码运算，其运算结果也是补码。在转换为真值时，若符号位为 0，数位不变；若符号位为1，应将结果求补才是其真值。

[例3] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用补码计算Z = X-Y。

解： [X]补 = 01101，[-Y]补 = 11010，则[Z]补 =[X]补+[-Y]补 = 01101+11010= 100111 , 其真值为Z = + 0111。

[例4] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用补码计算Z = X-Y。

解： [X]补 = 00110，[-Y]补 = 10011，则[Z]补 =[X]补+[-Y]补 = 00110 + 10011= 11001 , 其真值为Z = - 0111。

（三）溢出及补码溢出的判断

无论采取什么机器，只要运算的结果大于数值设备所能表示数的范围，就会产生溢出。溢出现象应该当成是一种故障来处理，因为它使结果数产生错误。

异号两数相加时，实际是两数的绝对值相减，不可能产生溢出，但有可能出现正常进位；

同号两数相加时，实际上是两数的绝对值相加，既可能产生溢出，也可能出现正常进位。

[例5] 某数字设备用五位二进制表示数，计算

（1）9+3 （2）-9-3 （3）9+12 （4）-9-12

解：（1）[+9]补+[+3]补= 01001+ 00011 = 01100 = +12 正确；

（2）[-9]补+[-3]补= 10111+ 11101 = 110100 = 10100（符号位进位自然丢失），其真值为-1100 = -12正确；

（3）[+9]补+[12]补= 01001 + 01100 = 10101 其真值为-1011 =-11错误，产生了溢出；

（4）[-9]补+[-12]补 = 10111+10100 = 101011 其真值为01011= +11 错误，产生了溢出。

（1）、（2）两题结果均正确，查其最高位和次高位的进位位，不是均无进位产生，就是均产生进位；（3）、（4）两题结果均错误，查其最高位和次高位的进位位，只有一位产生了进位。此即为判断机器是正常进位还是溢出的基本依据，在微型机中可用异或电路来实现上述的判断。

reference：

https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

https://www.cnblogs.com/nyw1983/p/11887220.html