一、题目描述

计算机中的图像由一系列像点构成，每个像点称为一个像素，图像分辨率越高，使用的像素就越多，例如Windows桌面的图片经常使用的设置是1024×768个，大概达到10⁶量级.图像传输和视频处理有时在1秒钟内要处理几十帧图片，这些图片的像素就很可观了，因此图像处理常常需要大量的存储空间和高的处理速度，图像压缩问题就成了计算机科学技术中的重要研究课题之一.

以黑白图像的处理来说明图像压缩中的问题.每幅黑白图像由像点构成，每个像点具有灰度值，用0~255之间的整数表示.如果每个整数都用相同的二进制位来表示，那么需要用8个二进制位.假设一幅图像有n个像素，那么这n个像素的灰度值构成一个整数序列:P = <p₁,p₂,…,p_n>

其中p表示第i个像素的灰度.存储这幅图片时，可以像数组一样连续把这些整数存起来，共需要8n个二进制位.

下面考虑一种图像压缩方法.一般来说，在一幅图片中许多连续区域中像点的灰度值是接近的.比如有些交通标志图片，大片的区域是白的，可能少量区域有颜色，而且是比较单调的颜色.对这样的图片是否可以采用分段存储的方法：对灰度值较小的段的像素采用比较少的位数，比如2位；对灰度值较大的段的像素采用较多的位数，比如8位，这样就可能减少空间的占用.这就是变位压缩技术的基本想法.这种技术节省了空间，但在读取图像时带来了新的问题.在每个像素8位的存储方法中，读取图像时每8位就是一个像素的灰度值，不会出错.但是对于分段压缩的图像，看起来就是一个长长的0-1序列.当读取这个序列时，怎么知道每段的划分位置及每段像素占用的二进制位数呢？这里需要对段的划分和段中像素使用的二进制位数（要求同一段内不同像素用的存储位数都一样）给出明确的信息.为此，我们对每个段给出两个整数值，一个表示该段含有的像素个数，一个表示每个像素所占用的二进制位数.比如第i段，有l[i]个像素，每个像素用b[i]位.由于某些技术要求，规定每段像素总数不超过256，即l[i]≤256.于是可以用8位来表示l[i]（8位二进制数恰好有256个值）.此外，由于每个灰度值在0~255之间，表达每个灰度值所用二进制数的位数b[i]不超过8，于是记录b[i]还需要3个二进制位.对每段来说，这额外的11位作为段头信息.从直觉上来说，分段越多，每段内部像素所占用的位数会减少，但过多的段头会消耗较多的二进制位.相反，分段越少，段内像素的空间消耗会增加，但是段头消耗少.

示例：

请看下面的例子.设输入的灰度值序列是：

P =<10,12,15,255,1,2,1,1,2,2,1,1>

分法1 S₁= <10，12，15>，S₂ =<255>，S₃=<1，2，1，1，2，2，1，1>
分法2 S₁=<10，12，15，255，1，2，1，1，2，2，1，1>
分法3 S₁=<10>，S₂=<12>，S₃=<15>，S₄=<255>，S₅=<1>，S₆=<2>，S₇=<1>，S₈=<1>，S₉=<2>，S₁₀=<2>，S₁₁=<1>，S₁₂=<1>

分法1有3段，第1段3个像素，每个像素用4位；第2段1个像素，每个像素用8位；第3段8个像素，每个像素用2位；加上3个段头，每个段头11位，总计位数是：
4×3+8×1+2×8+3×11=69

分法2有1段，12个像素，每个像素用8位，段头11位，总计位数是：
8×12+11=107

分法3有12段，前3段的像素用4位，第4段像素用8位，后面有5段像素用1位，3段像素用2位，还有12个段头，每个11位，总计位数是：
4×3+8×1+1×5+2×3+11×12=163

看起来分法1占用的位数最少.我们的问题是寻找存储位数最少的分段方法.

二、解题思路

1. 定义状态

设dp[i]表示字符串前i个像素点的保存的最少二进制数的数量，i从1开始计数，那么我们最终要求出的是dp[P.length]即为像素序列P的最少消耗空间;

假设每个分段数量为j，则由于题目约束可得1≤j<=min(i,256)1 \leq j <=min(i,256)1≤j<=min(i,256), 假设像素序列i的后j个像素序列分为一段，则有dp[i] = dp[i - j] + j x log₂max(P_i-j+1,…,P_i) + 11 ，当然j值可能有多个，我们取最小花费那个。

2. 定义状态转移方程

当1≤j<=min(i,256)1 \leq j <=min(i,256)1≤j<=min(i,256)，有

dp[i]=min(dp[i−j]+j×log2max(Pi−j+1,..,Pi)+11)dp[i] = min(dp[i - j] + j \times log_2max(P_{i-j+1},..,P_i) + 11) dp[i]=min(dp[i−j]+j×log2max(Pi−j+1,..,Pi)+11)

3. 初始化

当 i = 0时，有dp[0]=0dp[0] = 0dp[0]=0

4. 计算方式

自左向右计算

三、代码实现

/*** 最优图像压缩位数**  @author hh*  @date 2021-5-21 21:46*/
public class OptimalImageCompression {public int optimalBits(int[] dots,int[] traces){int[] dp = new int[dots.length + 1];int cost = Integer.MAX_VALUE;//初始化行dp[0] = 0;for(int i = 1; i <= dots.length; i++){dp[i] = Integer.MAX_VALUE;for(int j = 1; j <= Math.min(i,256); j++){cost = dp[i -j] + j * (this.minBits(this.max(dots,i -j + 1,i))) +11;if(cost < dp[i]){dp[i] = cost;traces[i] = j;}}}return dp[dots.length];}public void print(int[] traces, int length){length -= traces[length];if(length <= 0){return;}print(traces,length);System.out.print(length + " ");}private int max(int[] dots,int start,int end){int[] copy =  Arrays.copyOfRange(dots,start -1,end);Arrays.sort(copy);return copy[copy.length -1];}private int minBits(int number){int bits = 0;for(int i = 1; i <= 8; i++){if(Math.pow(2,i-1) - 1 <= number && Math.pow(2,i) - 1 >= number){bits = i;break;}}return bits;}public static void main(String[] args){int[] dots = new int[]{10,12,15,255,1,2,1,1,2,2,1,1};int[] traces = new int[dots.length + 1];OptimalImageCompression optimalImageCompression = new OptimalImageCompression();System.out.println("最少二进制位：" + optimalImageCompression.optimalBits(dots,traces));System.out.print("切分位置：");optimalImageCompression.print(traces,dots.length);}
}

四、执行结果

五、思考

本题和文本压缩的做法非常相似，都是对dp数组进行线性划分，读者有时间可以看我的另一篇文章动态规划经典题目-数据压缩之文本压缩，进行举一反三。

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