2019.08.15【NOIP提高组】模拟 B 组 排序、计算几何+数论、高精度优化+二分图/网络流
文章目录
- 0【NOIP2013模拟联考3】库特的向量(code)
- 1 【NOIP2013模拟联考3】恭介的法则(rule)
- 2 【NOIP2013模拟联考3】沙耶的玩偶(doll)
- 开门那一瞬，阳光照在你的身上
0【NOIP2013模拟联考3】库特的向量(code)
从前在一个美好的校园里，有一只（棵）可爱的弯枝理树。她内敛而羞涩，一副弱气的样子让人一看就想好好疼爱她。仅仅在她身边，就有许多女孩子想和她BH，比如铃，库特，等等。不过，除却巫山不是云，理树的心理只有那个帅气高大的男孩子——恭介，这让女孩子们不得不终日唉声叹气，以泪洗面。不过恭介是那样强大而完美，根本没有办法击败他，她们也只好咬牙忍痛度日，以待反击之时。
终于，她们获得了一次机会。机智的库特利用弹道学、密码学、宇宙学的知识设计出了一个密室，可以让进入的人无法从内部打开出口。库特设计密码的过程很奇葩，是由两个用整数坐标表示的n 维向量导出的。神奇的是，对于这两个向量中的任意一个，无论如何将它的坐标打乱(例如(a1,a2,a3)变成(a3,a1,a2)），打乱后的数量积都不会比原来的两个向量的数量积小。而库特就把原来的两个向量的数量积作为了密码。现在她们只用把恭介引入就可以了。但是，好事多磨，由于她们的粗心大意，在测试密室的时候不小心把自己给关了进去，而且还带走了密码纸。在外面的铃只找到了库特写着两个打乱后的向量的草稿。哇呼~能不能解救这些萌妹子，就看你了。
对于50%的数据 n<=8 , |ai|,|bi|<=1000
对于100%的数据 n<=1000, |ai|,|bi|<=100000
向量a： ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ) (a_1,a_2,a_3,...,a_n) (a1,a2,a3,...,an)，向量b： ( b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n ) (b_1,b_2,b_3,...,b_n) (b1,b2,b3,...,bn)
两个n维向量的数量积： ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b a 3 + . . . + a n b n ) (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_a3+...+a_nb_n) (a1b1+a2b2+a3ba3+...+anbn)
然后这题求最小的向量积，那就把两个向量中最小的坐标和最大的坐标乘
就 a i a_i ai和 b i b_i bi分别排序，一个升序另一个降序，然后按顺序乘
那么除了要开long long 就没有任何要注意的地方了
#include <cstdio>
#include <algorithm> using namespace std;int n;
long long ans;
int a[1005],b[1005];bool comp(int a,int b){return a>b;
}int main(){scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+1+n);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);sort(b+1,b+1+n,comp);for (int i=1;i<=n;i++)ans=(long long)a[i]*b[i]+ans;printf("%lld",ans);
}
1 【NOIP2013模拟联考3】恭介的法则(rule)
终于，在众亲们的奋斗下，最终boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时，这个世界却发生了天翻覆地的变化：地面开始下沉，天空开始变成血红色，海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因：白鸟は かなしからずや 空の青 海のあをにも 染まずただよふ 。大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源，就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里，盒子里有两个毒气罐，如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死，法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x，第二个毒气罐为1/y（x,y 为正整数），那么当两个概率和为1/(n!)时，猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道，有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。
对于30%的数据 n<=6
对于60%的数据 n<=50
对于100%的数据 n<=700000
对题目大意总结，得要求有多少对 ( x , y ) (x,y) (x,y)满足 1 / x + 1 / y = 1 / ( n ! ) 1/x+1/y=1/(n!) 1/x+1/y=1/(n!)
对式子进行通分，得 ( x + y ) / x y = 1 / ( n ! ) (x+y)/xy=1/(n!) (x+y)/xy=1/(n!)
然后分数运算，得 ( x + y ) n ! = x y (x+y)n!=xy (x+y)n!=xy
把括号拆开，得 x n ! + y n ! = x y xn!+yn!=xy xn!+yn!=xy
把y放到同一边，得 x n ! = x y − n ! y xn!=xy-n!y xn!=xy−n!y
把y提出来，得 x n ! = y ( x − n ! ) xn!=y(x-n!) xn!=y(x−n!)
把（x-n!)除到左边，得 x n ! / ( x − n ! ) = y xn!/(x-n!)=y xn!/(x−n!)=y
由x，y是正整数得 x n ! > = ( x − n ! ) > = 1 xn!>=(x-n!)>=1 xn!>=(x−n!)>=1，则必有 x > n ! x>n! x>n!
这时设 x = n ! + k x=n!+k x=n!+k， k k k为任意整数，则原始等于 ( n ! + k ) n ! / ( n ! + k − n ! ) = y (n!+k)n!/(n!+k-n!)=y (n!+k)n!/(n!+k−n!)=y
然后 ( n ! 2 + k n ! ) / k = y (n!^2+kn!)/k=y (n!2+kn!)/k=y
把括号拆开，得 n ! 2 / k + n ! = y n!^2/k+n!=y n!2/k+n!=y
由y是正整数得 k ∣ n ! 2 k|n!^2 k∣n!2
题目顺利转化为 n ! 2 n!^2 n!2有多少个不同约数
设 n ! 2 = ( p 1 a 1 ∗ p 2 a 2 ∗ . . . ∗ p k a k ) 2 n!^2=(p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k})^2 n!2=(p1a1∗p2a2∗...∗pkak)2，其中 q i q_i qi为质因子， a i a_i ai为每个质因子的指数
那么就有 n ! 2 n!^2 n!2的约数个数为 ( a 1 ∗ 2 + 1 ) ∗ ( a 2 ∗ 2 + 1 ) ∗ . . . ∗ ( a k ∗ 2 + 1 ) (a_1*2+1)*(a_2*2+1)*...*(a_k*2+1) (a1∗2+1)∗(a2∗2+1)∗...∗(ak∗2+1)
可以理解为对于一个质因子 p i p_i pi，可以选0个，选2个，…，选 a i ∗ 2 a_i*2 ai∗2个
哇这就变成了筛素数，算约数个数，并高精度
首先筛素数上一个欧拉筛
然后算约数个数
1——n有约数i的数的个数为n/i
n一直除pi，每次除都加进ai
最后高精度（然而听说可以FFT?）
压位，
并有一个小优化即当乘进答案的数足够大时才进行运算，可以减少运算的次数，详见注释
（加了上面那个优化就可以不吸氧啦）
并补零的输出scanf("%09lld",ans)那个09表示补足9位，不足的位用0补齐
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(2) //额我不吸氧也可以过的[坚强.jpg]
#include <cstdio>using namespace std;const long long mod=1000000000;
int n,m,ans,tem=1;
int p[250000],b[700005];
long long e[250000];
long long a[100000];void plus(long long x){for (int i=1;i<=a[0];i++)a[i]*=x;for (int i=1;i<=a[0];i++){long long g=a[i]/mod;a[i]%=mod;a[i+1]+=g;if (i==a[0]&&g!=0) a[0]++;}
}int main(){scanf("%d",&n);for (int i=2;i<=n;i++){if (b[i]==0) p[++p[0]]=i;for (int j=1;p[j]*i<=n&&j<=p[0];j++){b[p[j]*i]=1;if (i%p[j]==0) break;}}a[1]=1;a[0]=1;for (int i=1;i<=p[0];i++){ //算每个质因数在1-n出现的次数for (int j=n;j>=p[i];) j/=p[i],e[i]+=j;}for (int i=1;i<=p[0];i++){ //这里乘法有一个小优化if (tem*(e[i]*2+1)>mod){//当要成进去的数快达到极限（很大）再乘进去，减少乘的次数plus(tem);tem=1; //乘完后临时计数器清1}tem*=(e[i]*2+1); //每次都往临时计数器上堆数}if (tem>1) plus(tem); //临时计数器里可能还有数没有乘printf("%lld",a[a[0]]);for (int i=a[0]-1;i>=1;i--){ printf("%09lld",a[i]); //这样输出可以补零呢}
}
2 【NOIP2013模拟联考3】沙耶的玩偶(doll)
在美鱼和理树后援团拯救世界的同时，外表柔弱的理树也开始坚强起来，思考着离开这个世界的办法。误打误撞地，她遇上了正在教室破坏课桌打开迷宫入口的沙耶。沙耶告诉理树，这个世界的出口就是这个迷宫的出口。于是理树毫不犹豫地跟沙耶一起跳进了迷宫。在迷宫里，两个女孩子互帮互助，一会儿割绳子，一会儿泡温泉，一会儿雕冰块，跌跌撞撞地走到了终点。不出所料，终点也有一个机关在等着她们。
终点的机关是一个立着的mn 的方格棋盘，在有些格子上放了一个玩偶，而有些地方直接挖了个大坑。只有取走所有玩偶才能打开出口。但是，由于奇怪的设定，理树和沙耶不能直接触碰玩偶，他们需要操纵机器人来收集它。机器人的走法很奇怪，和国际象棋的马有点像，只不过马可以走任意方向的12 路线，它们只会由上往下走rc(或cr)的路线，不能回头。而机器人一旦经过一个有玩偶的格子，那个格子上的玩偶将被回收，并且在机器人离开时，那个格子会变成一个坑。理树可以把机器人放在任何一个有玩偶的格子上作为起点，也可以在任何一个有玩偶的格子回收机器人。机器人行走可以视为瞬移，只不过每一次设置新起点都会消耗1 时间。并且，有坑的格子不能落脚。
就在这个紧要关头，玩偶狂热爱好者的沙耶却流着口水智商归0。理树不得不转而求助你，帮忙计算出最少多少时间就能收集到所有玩偶。
30%的数据中，1<=M,N<=4，1<=R,C<=3。
70%的数据中，1<=M<=20，1<=N<=4，1<=R,C<=3。
100%的数据中，1<=M,N<=50，1<=R,C<=10。
由于这是一个有许多格子的图，并每个格子与其他某些格子有某种关系
那么可以看看二分图/网络流
难度当然主要在建图
二分图的建图呢，就将二维的图上的点标号，化为一个个的点，将点复制一倍
设由 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)可以跳到 ( x 2 , y 2 ) (x2,y2) (x2,y2)，就将 x 1 ∗ m + y 1 x1*m+y1 x1∗m+y1向 x 2 ∗ m + y 2 + n ∗ m x2*m+y2+n*m x2∗m+y2+n∗m连边
答案是总玩偶数-最大匹配数，因为每一个匹配都是由一个点跳向另外一个点，后面那个点显然不用花费时间设置新起点，而剩下的点当然需要设置新起点
#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;int dx[6],dy[6];
int m,n,e,c,ans,spa;
int b[55][55],co[5012],l[5012];
int ls[5012],ne[100005],y[100005];bool match(int x){for (int i=ls[x];i;i=ne[i])if (co[y[i]]==0){int q=l[y[i]];l[y[i]]=x;co[y[i]]=1;if (q==0||match(q)) return 1;l[y[i]]=q;}return 0;
}int main(){scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&e,&c);if (e==c){dx[0]=2,dx[1]=e,dx[2]=e;dy[0]=2,dy[1]=c,dy[2]=-c;} else {dx[0]=4,dx[1]=e,dx[2]=e,dx[3]=c,dx[4]=c;dy[0]=4,dy[1]=c,dy[2]=-c,dy[3]=e,dy[4]=-e;}for (int i=0;i<n;i++){char ch[55];scanf("%s",ch+1);for (int j=1;j<=m;j++)if (ch[j]=='.') {b[i][j]=1;spa++;for (int k=1;k<=dx[0];k++){int x=i-dx[k],yy=j-dy[k];if (x>=0&&yy>0&&x<n&&yy<=m&&b[x][yy]==1)ne[++ne[0]]=ls[x*m+yy],ls[x*m+yy]=ne[0],y[ne[0]]=i*m+j+n*m;}}}for (int i=0;i<n;i++)for (int j=1;j<=m;j++)if (b[i][j]==1){memset(co,0,sizeof co);match(i*m+j);}for (int i=0;i<n;i++)for (int j=1;j<=m;j++)if (l[i*m+j+n*m]!=0&&b[i][j]==1) ans++;printf("%d",spa-ans);
}
开门那一瞬，阳光照在你的身上
文艺的后续：
——你的身形模糊又美丽，发丝都泛着金光，背后是蓝天白云，青叶远山
——那一瞬我以为你是我的谁
竞赛室真实的后续：
——我以为你是AJ （by hjw)
——吓得我关掉了浏览器
在教室更真实的后续：
——亮瞎了我的眼
——晒死了
——下次进教室麻烦不要走前门谢谢
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