微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?...
撸了今年阿里、头条和美团的面试,我有一个重要发现.......>>>
马同学
微信公众号:matongxue314,把数学讲清楚
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
微分和导数,我在初学的时候感觉概念虽然不复杂,但是始终有点模糊,比如以下一些问题就觉得模棱两可:
对于导数的链式法则, ,可以理解为 可以约去,所以两者相等。但假如有 , ,通过消去我们是否可以推出 ?
,这里好像实实在在的消去了 。
,然后说 太小了,所以忽略,得到了微分的乘法法则, ,难道 和 不小!!
我当时脑袋一片混乱,到底 或者说 、 是什么东西?为什么有的地方可以消去,有的地方不可以?
其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的,要想解答上面的疑问,还得从微积分的发展历史上去寻找答案。
我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想,主要针对 这样的一元函数。
1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分
牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分,下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明(要了解各种微积分符号,可以参看 ----维基百科 )。
1.1 导数为什么出现?
导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的,之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了,但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。
曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题,微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和:
直觉告诉我们,如果 越大,则这个近似越准确:
无穷小量就在这里出现了,无穷小量是建立微积分的基础,莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下,无穷小量到底是什么也是有争论的,当时有数学家打比喻:“无穷小量就好比山上的灰尘,去掉和增加都没有什么影响”,很显然有人认为这是真实存在的。
在具体计算曲面下面积,即我们现在所说的定积分的时候,必然会遇到导数的问题,所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。
1.2 导数的古典定义
在曲线上取两点,连接起来,就称为曲线的割线:
割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降,上升了多少,但是并不精确。
有了切线之后我们进一步去定义导数:
从这张图得出导数的定义 ,而 和 被称为 和 的微分,都为无穷小量,所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商)。
1.3 无穷小量导致的麻烦
上一节的图实际上是有矛盾的:
所以就切线的定义而言,微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还远远不止这一些, 的导数是这样计算的:
仔细看看运算过程, 先是在约分中被约掉,然后又在加法中被忽略,就是说,先被当作了非0的量,又被当作了0,这就是大主教贝克莱(就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表)所攻击的像幽灵一样的数,一会是0一会又不是0。
无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值?难道不应该都是1?
无穷小量还违反了 阿基米德公理 ,这个才是更严重的缺陷,康托尔证明过,如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。
一边是看起来没有错的微积分,一边是有严重缺陷的无穷小量,这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战,“对于数学,严格性不是一切,但是没有了严格性就没有了一切”。
1.4 对于古典微积分的总结
- 切线:通过无穷小量定义了切线
- 导数:导数就是切线的斜率
- 微分:微分是微小的增量,即无穷小量
2 基于极限重建微积分
莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦,一直拼命想要修补,但是这个问题要等到200年后,19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。
解决办法是,完全摈弃无穷小量,基于极限的概念,重新建立了微积分。
2.1 极限
现在都是用 语言来描述极限:
可以看到,极限的描述并没有用到什么无穷小量。
2.2 导数的极限定义
维基百科
用极限重新严格定义了导数,已经脱离了微商的概念,此时,导数应该被看成一个整体。
不过我们仍然可以去定义什么是微分,说到这里,真是有点剧情反转,原来是先定义了微分再有的导数,现在却是先定义了导数再有的微分。
可以得出, 由两部分组成,通过图来观察一下几何意义:
,这是 的定义。
我们令 ,这个 的定义。
最后我们可以得到 :
2.3 对于极限微积分的总结
- 导数:被定义为一个极限,其意义就是变化率
- 微分:是一个线性函数,其意义就是变化的具体数值
- 切线:有了导数之后就可以被确定下来了
3 疑问的解答
微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。
3.1 古典微积分与极限微积分的对比
- 古典微积分是先定义微分再定义导数,极限微积分是先定义导数再定义微分。
- 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的,极限微积分的导数是基于极限定义的。
- 古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。
- 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。
- 古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。
- 古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。
古典微积分最大的好处就是很直观,不过也是因为太直观了,所以我们一直都无法忘记它带来的印象,也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。
3.2 疑问的解答
之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。
- ,在古典微积分中可以理解为消去,但是在极限微积分中我们应该认识到,这两个 实际上是不同的函数。
- 古典微积分中, 确实表明是无穷多个矩形的底边,消去也是合理的,而极限微积分中, 是求黎曼和,我们可以把 当作左括号, 当作右括号,就好比 ,计算完毕之后,括号自然就消失了。
- 在古典微积分中这么计算没有错误,只是 的消去也是不严谨的,而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明,这里不再列出。
古典微积分其实已经被摒弃了,我们应该知道这一点,重新从极限的角度去认识微积分。
3.3 古典微积分的用处
我们应该从古典微积分,以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。
并且,莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性,他设计的微积分符号确实很符合直觉,我们可以继续借用他的符号来描述微积分。
4 无穷小量的逆袭
有的数学家还是对无穷小量念念不忘,最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数, 超实数 。
基于超实数,数学家又重新定义了微积分,这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析(对应的,基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分,就是标准分析)。我对于超实数并不了解,大家感兴趣可以去学习非标准分析课程。
微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?...相关推荐
- 微分和导数的关系是什么?
在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududx\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{ ...
- 一元函数中的导数、微分和不定积分的关系
在同济大学高等数学教材里,关于微分和不定积分有如下介绍: 老猿在这里思考了很久,到底是微分与积分运算互逆,还是求导数与积分运算互逆?导数与微分是什么关系? 查阅了各种资料,莫衷一是,有说导数是积分逆运 ...
- 什么是微分?导数和微分的区别是什么?微分和积分的联系?
看之前推荐您阔以拿一只笔和一张纸,遇到看不懂的就画一画,增量啊什么的,会好理解很多. 先总的抽象地说一下微分是什么,假设有一个函数y=f(x).假设y轴上有一个增量,把这个增量叫做Δy.字面上理解,什 ...
- matlab如何就导数,Matlab微分和导数
Matlab 的 Matlab微分和导数 MATLAB提供用于计算符号导数的diff命令. 以最简单的形式,将要微分的功能传递给diff命令作为参数. 例如,计算函数的导数的方程式 - 例子 创建脚本 ...
- SLAM本质剖析番外-李群李代数的微分和导数
0. 简介 这几个月,博主已经从SLAM算法的使用向着算法的数学推导进行了记录和分享,之前也分享了李群李代数关注核心一文,从现象中解释了李群和李代数表达的含义.但是这还不够,所以这次作者作为SLAM本 ...
- latex 常用数学符号(数值函数、根式、微分与导数、模运算、极限、范围与预测)
目录 数值函数 根式 微分与导数 模运算 极限 范围与预测 数值函数 符号 latex exp a b = a b \exp_a b = a^b expab=ab \exp_a b = a^b ...
- (十 七)张量函数的微分与导数
本文主要内容如下: 1. 范数 2. 线性表示定理 3. 张量函数的连续.微分与导数 1. 范数 定义 设 V \mathscr{V} V 为"向量空间",定义由向量空间到实数的映 ...
- 【机器学习的高等数学基础】导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、基本导数与微分表、微分中值定理,泰勒公式、弧微分、曲率、曲率半径、洛必达法则、渐近线的求法等
机器学习的数学基础 高等数学 文章目录 机器学习的数学基础 高等数学 1.导数定义: 导数和微分的概念 2.左右导数导数的几何意义和物理意义 3.函数的可导性与连续性之间的关系 4.平面曲线的切线和法 ...
- MATLAB微分和导数
MATLAB提供用于计算符号导数的diff命令. 以最简单的形式,将要微分的功能传递给diff命令作为参数.例如,计算函数的导数的方程式 - 例子创建脚本文件并在其中键入以下代码 -syms t f ...
最新文章
- C++ 复制构造函数或者拷贝构造函数
- 安装IE8不能调试VS2005的解决办法
- 了解Java中的内存泄漏
- Java:log4j:WARN no appenders could be found for logger问题解决
- java连续输入_java – 要求用户进行多次输入
- java商城项目性能调优_javaWEB项目性能调优
- android系统中sd卡各文件夹功能详解 guessword,AndroidStudio LiveTemplate函数说明
- oracle重启数据库一般要多久,优化Oracle停机时间及数据库恢复
- 交通警察手势信号(动画演示)
- A10 平板开发一硬件平台搭建
- 消息中间件学习总结(5)——RocketMQ之Apache RocketMQ背后的设计思路与最佳实践
- 计算机等级报考备注填什么用,计算机二级有什么用
- 天天动听 android,天天动听手机版
- 以现在的眼光来看,Windows 95是怎样的操作系统?
- 邮件营销的5个关键数字
- 计算机网络和电气之间的联系,2020年电气工程师《基础知识》历年真题精选0830...
- 自定义拖动条android,Android自定义滑动带(横条指示器)
- Gos ——内存管理系统
- R语言学习笔记(二)——回归分析
- 1字符集 iso latin_ISO Latin-1字符集