【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表 可满足式 矛盾式 重言式 )
文章目录
- 一、命题与联结词
- 二、命题公式
- 三、命题公式示例
- 四、联结词优先级
- 五、真值表
基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;
一、命题与联结词
原子命题 : p,q,rp , q , rp,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;
- 真 : 111 表示 命题真值 为真 ;
- 假 : 000 表示 命题真值 为假 ;
联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;
- 否定联结词 : ¬\lnot¬
- 合取联结词 : ∧\land∧ , p∧qp \land qp∧q , pqpqpq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
- 析取联结词 : ∨\lor∨ , p∨qp \lor qp∨q , pqpqpq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
- 蕴涵联结词 : →\to→ , p→qp \to qp→q , ppp 真 qqq 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
- 等价联结词 : ↔\leftrightarrow↔ , p↔qp \leftrightarrow qp↔q , pqpqpq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , pqpqpq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;
二、命题公式
命题公式 组成 :
① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;
② 如果 AAA 是命题公式 , 则 (¬A)(\lnot A)(¬A) 也是命题公式 ;
③ 如果 A,BA,BA,B 是命题公式 , 则 (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;
④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )
三、命题公式示例
命题公式示例 :
简单命题 : ppp
复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;
¬p\lnot p¬p
(p→q)(p \to q)(p→q) , 最外层的括号可以省略 , p→qp \to qp→q
(p→(q→r))(p \to (q \to r))(p→(q→r)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 , p→(q→r)p \to (q \to r)p→(q→r) ;
四、联结词优先级
联结词优先级 :
“¬\lnot¬” 大于 “∧,∨\land , \lor∧,∨” 大于 “→,↔\to, \leftrightarrow→,↔”
∧,∨\land , \lor∧,∨ 优先级相同 ;
→,↔\to, \leftrightarrow→,↔ 优先级相同 ;
五、真值表
真值表 :
| ppp | qqq | p→qp \to qp→q | p∧¬qp \land \lnot qp∧¬q | p∧(p∨q)↔pp \land ( p \lor q ) \leftrightarrow pp∧(p∨q)↔p |
|---|---|---|---|---|
| 000 | 000 | 111 | 000 | 111 |
| 000 | 111 | 111 | 000 | 111 |
| 111 | 000 | 000 | 000 | 111 |
| 111 | 111 | 111 | 000 | 111 |
p→qp \to qp→q 是 可满足式 ;
p∧¬qp \land \lnot qp∧¬q 是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;
p∧(p∨q)↔pp \land ( p \lor q ) \leftrightarrow pp∧(p∨q)↔p 是 重言式 , 又称为 永真式 ;
可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;
矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;
可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;
重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;
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