CCF - 202112-2 - 序列查询新解

给出一个A数组，A = 【0，2，5，8】，n = 3，N = 10，r = 2；
在样例中可以看出在【0，2），【2，5），【5，8），【8，10）这些区间内，我们处在其中任何一个区间中时，f(i)就是已知的，并且相同。
我们假设一个函数absGfSum(a1, a2, f）表示在【a1，a2)区间内，已知f(i)，求g(i)
我们知道在【a1，a2)中，f(i) 是不变的，而g(i)是单调递增的。
所以
1、当g(a1) >= f 时，表示所有的g(i)都大于等于f(i)，直接算出在【a1，a2)中abs（ f(i)的总和 - g(i) 的总和）；
2、当g(a2) <= f 时，表示所有的g(i)都小于等于f(i)，也可以直接算出在【a1，a2)中abs（ f(i)的总和 - g(i) 的总和）；
3、当以上两个条件不满足时，说明前半段g(i) < f(i) 后半段g(i) >= f(i)，那么只要算出中间 g(i) = f(i) 时的位置就行了，假设中间这个位置表示为mid，那么【a1，mid）就是第2种情况，【mid，a2) 就是第一种情况。
综上所述，我们还有两个问题需要解决。
第一个问题：计算【a1，a2)区间内，g(i) 的总和。
我们只需实现一个g(i)前n项和的函数gn，然后gn（a2 - 1）- gn（a1 - 1）即可。
当r = 2时，g(i)是0，0，1，1，2，2，3，3……
当r = 3时，g(i)是0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，3……
以r = 2为例，将第一项和第二项，第三项和第四项依此类推，相加之后，就形成了一个等差数列。
等差数列an = (首项 + 尾项) * 项数 / 2;
编号：0，1，2，3，4，5，6，7，8……n
g(i) ：0，0，1，1，2，2，3，3，4……n / r
相加后：0，2，4，6，8……
通过观察可以发现：g(i) = i / r；
（1）当(i + 1) / r == 0时，说明前 i 项正好构成像（0，0，1，1）这样整齐的数列
这时，首项为0，尾项为 i / r * r （i / r 是g(i)，相加后的尾项是 r 个g(i)），
项数为（i + 1）/ r，
（2）当（i + 1）/ r != 0时，我们先算出前i项中像（0，0，1，1）这样整齐的数列，再加上多出的几项即可。
这时，首项为0，尾项为(i / r - 1) * r，项数为（i + 1) / r，还剩下（n + 1) % r项，所以最后加上（n + 1）% r * (n / r)；
第二个问题：找到【a1, a2)区间内f(i) == g(i) 时的位置mid
直接遍历

long long mid = a1;
for(; mid <= a2; mid++){if(mid / r == f){break;}
}

以上就是这道题的解题思路。
需要注意的是数据类型使用long long
下面是我的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//计算g(i) 的前n项和
long long gn(long long n, long long r){if(n < 0) return 0;if((n + 1) % r != 0){long long m = (n + 1) % r;return (n / r * r - r) * ((n + 1) / r) / 2 + m * (n / r);}return n / r * r * ((n + 1) / r) / 2;
}
//计算在a1~a2范围内，当f(i)>g(i)时，f(i) - g(i)求和，当f(i)<=g(i)时，g(i) - f(i)求和
long long absGfSum(long long a1, long long a2, long long f, long long r){if(a1 / r >= f || a2 / r <= f){return abs((a2 - a1) * f - (gn(a2 - 1, r) - gn(a1 - 1, r)));}long long mid = a1;for(; mid <= a2; mid++){if(mid / r == f){break;}}return (mid - a1) * f - (gn(mid - 1, r) - gn(a1 - 1, r))+ gn(a2 - 1, r) - gn(mid - 1, r) - (a2 - mid) * f;
}int main(){long long n, N;cin >> n >> N;long long r = N / (n + 1);//记录数组中的前后两个数，数组中第一个数默认是0，所以a1作为数组中的第一个数，输入的数作为a2,long long a1 = 0, a2 = 0;long long sum = 0;for(int j = 0; j < n; j++){cin >> a2;//j就是[a1, a2)范围内的f(i)的值sum += absGfSum(a1, a2, j, r);;a1 = a2;}a2 = N;sum += absGfSum(a1, a2, n, r);cout << sum << endl;return 0;
}

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