csp202112-2：序列查询新解题解

题目

样例

思路: 前缀和思想

观察f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)的序列，其实是有规律的：

f(x)f(x)f(x)在每个A[i]A[i]A[i]处+1+1+1，在[A[i],A[i+1])[A[i],A[i+1])[A[i],A[i+1])中值相等
当x>=A[n]x>=A[n]x>=A[n]时，f(x)=nf(x)=nf(x)=n
g(x)g(x)g(x)每rrr个数+1+ 1+1
因为由g(x)g(x)g(x)定义可知：

g(x)g(x)g(x)中xxx每经过rrr个数会+1+1+1

所以整体思路可以先对序列A进行遍历，每次遍历一个f(i)f(i)f(i)相等的区间，在这个相等的区间里，fff函数值是相同的，再去处理ggg函数。

将最大的值NNN加入到序列A的后面，这样序列A的每两个相邻的数，都是一段f(i)f(i)f(i)相等的区间，且在这段区间里的f(i)f(i)f(i)值等于区间的左边界值。
对于每个这样的区间，ggg函数的值与fff函数的值有三种关系：
由ggg函数是单调不减函数，可知：

1.右边界r<左边界(f的值)\frac{右边界}{r}<左边界(f的值)r右边界<左边界(f的值)：此时ggg函数的值在区间内恒小于fff函数的值
2.左边界r>左边界(f的值)\frac{左边界}{r}>左边界(f的值)r左边界>左边界(f的值)：此时ggg函数的值在区间内恒大于fff函数的值
3.ggg函数在区间内递增，且有一个位置等于左边界(f的值)左边界(f的值)左边界(f的值),在这个位置的左边，ggg函数的值小于fff函数的值；在这个位置的右边，ggg函数的值大于fff函数的值

对于情况一：直接拿区间内f值的和减去区间内g值的和
对于情况二：直接拿区间内g值的和减去区间内f值的和
对于情况三：在相等点的左右两侧，分别拿大的和减去小的和

在区间内fff函数的和是易求的，因为值固定，而在区间内ggg函数的和是难求的，可以求出其前缀和。

如何计算ggg的前缀和？
我们可以看出g(i)g(i)g(i)的前kkk（这里kkk从000开始）项，是由rrr个首项为000、项数为(k+1)/r(k + 1) / r(k+1)/r、公差为111的等差数列，以及(k+1)%r(k + 1) \% r(k+1)%r个k/rk / rk/r构成的。
那么我们可以知道h(i)=r×0+(i+1r−1)2×i+1r+(i+1)%r×irh(i)=r\times\frac{0+(\frac{i+1}{r}-1)}{2}\times\frac{i+1}{r}+(i + 1) \% r\times\frac{i}{r}h(i)=r×20+(ri+1−1)×ri+1+(i+1)%r×ri。
因此当我们要计算[l,r][l,r][l,r]范围内的g(i)g(i)g(i)的和时，可得：sum=h[r]−h[l−1]sum=h[r]-h[l-1]sum=h[r]−h[l−1]
而这时间复杂度几乎是O(1)O(1)O(1)的。

代码

为了数据不越界，都采用long long类型

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;LL h(LL i,LL r) //求g(i)的前缀和h(i)
{ if(i<0) return 0;else return r*((i+1)/r-1)*((i+1)/r)/2+(i+1)%r*(i/r);
}
LL cal(LL fi,LL lft,LL rgt,LL r)//给定一个f(i),计算区间里的|g(i)-f(i)|之和,前提是g(i)全部小于等于或者全部大于等于f(i)
{ return abs(h(rgt,r)-h(lft-1,r)-fi*(rgt-lft+1));
}
int main()
{LL n,N,t;scanf("%lld%lld",&n,&N);vector<LL> a;a.push_back(0);//默认A[0]=0 for(int i=0;i<n;++i) {scanf("%lld",&t);a.push_back(t);}a.push_back(N);   //把N加到末尾LL r=N/(n+1),ans=0;   //计算出r,ans存储结果 for(LL fi=0;fi<=n;++fi)  //遍历序列A中的每个数，从位置0遍历到位置n，fi表示的是f值得左边界，当遍历到n时，f的值是最大的 { //遍历每个f(i)LL lft=a[fi],rgt=a[fi+1]-1;   //左边界为a[fi],右边界为a[fi+1]-1,在这个范围内的f值都为fi if(lft/r>=fi||rgt/r<=fi) ans+=cal(fi,lft,rgt,r); //如果区间内g(i)全部小于等于或者全部大于等于f(i),直接使用cal函数else ans+=cal(fi,lft,r*fi,r)+cal(fi,r*fi+1,rgt,r); //否则将区间分成两半，分别使用cal函数}printf("%lld",ans);return 0;
}

在计算前缀和的函数里为什么不能再对式子进行化简？
因为把中间过程的除法化简掉可能发生溢出。

更简洁的解法

参考：https://blog.csdn.net/LarsGyonX/article/details/122857350

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,N,a;
int main()
{scanf("%d%d",&n,&N);vector<int> A;A.push_back(0);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a);A.push_back(a);}A.push_back(N);LL res=0;int r=N/(n+1);int gnext=r,gx=0;//gnext是下一个g函数的变化点，开区间for(int i=1;i<=n+1;i++) //遍历A，对每个相等的f区间，再用g来对它进一步划分{int left=A[i-1];  //很重要while(true){if(A[i]<=gnext)  //g在f这个大区间内已经不变{res+=(LL)abs(i-1-gx)*(LL)(A[i]-left);  //直接算值break;}else   //g在f的不变区间内是可变的{res+=(LL)abs(i-1-gx)*(LL)(gnext-left);   //先把前面一部分不变的给算上left=gnext;  //更新左边界，闭区间gnext+=r;  //更新新的变化点gx++;    //更新gx的值}}}printf("%lld",res);return 0;
}