CCF CSP 202112-2 序列查询新解

单纯地讲思路有些难懂，这里结合一个实际例子来说明：
我们假设A = {0，1，3}，n = 2，N = 10，r = 10 / (2 + 1) = 3。

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f(i)	1	1	2	2	2	2	2	2	2
g(i)	0	0	1	1	1	2	2	2	3
\|g(i) - f(i)\|	1	1	1	1	1	0	0	0	1

肯定不能蠢到遍历所有的i，求|g(i) - f(i)|的和，这样做铁定超时。在做上一题（202112-1，序列查询）的时候，应该要想到需要遍历的是所有的f(i)，而不是i。

那么，对于一个给定的f(i)而言，我们怎么求这个区间里|g(i) - f(i)|之和？

以上表中f(i) = 1时为例，区间内的g(i) = {0，0}。这一段区间是比较特殊的，因为区间内的所有g(i)都小于等于这个f(i)。这时问题就比较好办了，这个区间里|g(i) - f(i)|之和等于区间里f(i)之和减去区间里g(i)之和。

如何快速求区间里f(i)之和，不用我再解释。关键是如何快速求区间里g(i)之和。我们令g(i)的前缀和为h(i)，给定的f(i)区间里i的范围是[lft，rgt]，那么求区间里g(i)之和其实就是求h(rgt) - h(lft - 1)。例如，求f(i) = 1时g(i)之和，就是求h(2) - h(1 - 1)。

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
g(i)	0	0	0	1	1	1	2	2	2	3
h(i)	0	0	0	1	2	3	5	7	9	12

如何计算g(i)的前缀和h(i)，有简便的方法。g(i)的前k（这里k从0开始）项，是由r个首项为0、项数为(k + 1) / r、公差为1的等差数列，以及(k + 1) % r个k / r构成的。举例来说，g(i)的前7项{0， 0， 0， 1， 1， 1， 2，2}是由3个首项为0、项数为2、公差为1的等差数列{0， 1}，以及2个2构成的。那么我们可以知道h(i) = r * ((i + 1) / r - 1) * ((i + 1) / r) / 2 + (i + 1) % r * (i / r)。

现在，我们已经知道了给定一个f(i)，如果对应区间里g(i)全部小于等于该f(i)时，怎么求这个区间里|g(i) - f(i)|之和。如果对应区间里g(i)全部大于等于该f(i)呢？那么只是改成用区间里g(i)之和减去区间里f(i)之和罢了。但是还有一种特殊情况，那就是区间里的g(i)既有小于f(i)的，也有大于f(i)的。这个时候我们直接把区间从g(i) = f(i)处一分为二，左半边的g(i)全部小于f(i)，右半边的g(i)全部大于f(i)，分别计算区间里|g(i) - f(i)|之和——以f(i) = 2时为例，把f(i) = 2的区间从i = 6处分为两半，那么左半边的g(i) = {1，1，1，2}，右半边的g(i) = {2，2，3}，分别计算这两半就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;long long h(long long i, long long r) { //求g(i)的前缀和h(i)if (i < 0) return 0;else return r * ((i + 1) / r - 1) * ((i + 1) / r) / 2 + (i + 1) % r * (i / r);
}long long cal(long long fi, long long lft, long long rgt, long long r) { //给定一个f(i),计算区间里的|g(i)-f(i)|之和,前提是g(i)全部小于等于或者全部大于等于f(i)return abs(h(rgt, r) - h(lft - 1, r) - fi * (rgt - lft + 1));
}int main()
{long long n, N, t;cin >> n >> N;vector<long long> a = {0};for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> t;a.push_back(t);}a.push_back(N);long long r = N / (n + 1), ans = 0;for (long long fi = 0; fi <= n; ++fi) { //遍历每个f(i)long long lft = a[fi], rgt = a[fi + 1] - 1;if (lft / r >= fi || rgt / r <= fi) ans += cal(fi, lft, rgt, r); //如果区间内g(i)全部小于等于或者全部大于等于f(i),直接使用cal函数else ans += cal(fi, lft, r * fi, r) + cal(fi, r * fi + 1, rgt, r); //否则将区间分成两半，分别使用cal函数}cout << ans << endl;return 0;
}

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