穿越万年的轮回[期望dp]

首先我们设置 d p i , 0 / 1 , 0 / 1 dp_{i,0/1,0/1} dpi,0/1,0/1表示经过 i i i次操作之后开头为 r e d / e d r red/edr red/edr，结尾为 r e d / e d r red/edr red/edr的串的期望 r e d red red字符串个数。
然后我们考虑转移：
首先我们要来思考一下期望的本质，这样一个状态，我们以 d p i , 0 , 0 dp_{i,0,0} dpi,0,0为例，里面可能有很多种情况，比如串 " r e d r e d " "redred" "redred"和串 " r e d e d r r e d " "rededrred" "rededrred"每一种有一个概率和贡献，假设有 n n n种情况，每一种的概率是 p i p_i pi，贡献是 X i X_i Xi，那么
d p i , 0 , 0 = ∑ i = 1 p i X i dp_{i,0,0}=\sum_{i=1}p_iX_i dpi,0,0=i=1∑piXi
那么我们考虑在这个状态后面接上一个 " r e d " "red" "red"串，也就是第一种操作，这里面的串的概率和贡献会如何变化呢？
对于上述的一个状态 p i X i p_iX_i piXi，加上一个 " r e d " "red" "red"串之后贡献 X i X_i Xi变为 X i + 1 X_i+1 Xi+1，概率 P i P_i Pi变为 P i 3 \frac{P_i}{3} 3Pi所以这样一种转移让
d p i + 1 , 0 , 0 + = ∑ i = 1 p i 3 ( X i + 1 ) = ∑ i = 1 p i X i 3 + ∑ i = 1 p i 3 dp_{i+1,0,0}+=\sum_{i=1}\frac{p_i} {3} (X_i+1)=\sum_{i=1}\frac{p_iX_i} {3}+\sum_{i=1}\frac{p_i} {3} dpi+1,0,0+=i=1∑3pi(Xi+1)=i=1∑3piXi+i=1∑3pi
所以我们再记录一个 p i , 0 / 1 , 0 / 1 p_{i,0/1,0/1} pi,0/1,0/1表示经过 i i i次操作之后开头为 r e d / e d r red/edr red/edr，结尾为 r e d / e d r red/edr red/edr的串的概率，即可转移。
第二种操作和第三种操作同理可以得到：
对于四种情况各自分类讨论即可。但值得注意的是空串不在我们的考虑范围内，得提出来单独计算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll poww(ll a,ll b){ll t=1;while(b){if(b&1)t=t*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return t;
}
void add(int &a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;
}
void del(int &a,int b){a-=b;if(a<0)a+=mod;
}
const int M=2e5+50;
int dp[M][2][2];
int P[M][2][2];int main()
{int k;scanf("%d",&k);//P[0][0][0]=1;int inv3=poww(3,mod-2);int P0=1;for(int i=0;i<k;i++){//printf("%d %d %d %d\n",P[i][0][0],P[i][0][1],P[i][1][0],P[i][1][1]);{add(dp[i+1][0][0],1ll*P0*inv3%mod);add(P[i+1][0][0],1ll*P0*inv3%mod);if(i>=1){add(dp[i+1][1][0],1ll*inv3*P0%mod);add(P[i+1][1][0],1ll*P0*inv3%mod);add(dp[i+1][1][1],1ll*inv3*P0%mod);add(P[i+1][1][1],1ll*P0*inv3%mod);add(dp[i+1][1][1],1ll*9*inv3%mod*P0%mod);add(P[i+1][1][1],1ll*P0*inv3%mod);}P0=1ll*P0*inv3%mod;}// red...redadd(dp[i+1][0][0],((1ll*dp[i][0][0]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][0]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);add(dp[i+1][0][1],1ll*dp[i][0][0]%mod*inv3%mod);add(P[i+1][0][1],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);add(dp[i+1][0][0],10ll*dp[i][0][0]%mod*inv3%mod);add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);// red..edr dp[0][1]add(dp[i+1][0][0],((1ll*dp[i][0][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][1]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][1]*inv3%mod);add(dp[i+1][0][1],((1ll*dp[i][0][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][1]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][0][1],1ll*P[i][0][1]*inv3%mod);add(dp[i+1][0][1],(1ll*(10ll*dp[i][0][1])%mod*inv3%mod));add(P[i+1][0][1],1ll*P[i][0][1]*inv3%mod);// edr red dp[1][0]add(dp[i+1][1][0],((1ll*dp[i][1][0]*inv3%mod)+1ll*P[i][1][0]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][1][0],1ll*P[i][1][0]*inv3%mod);add(dp[i+1][1][1],1ll*(dp[i][1][0])*inv3%mod);add(P[i+1][1][1],1ll*P[i][1][0]*inv3%mod);add(dp[i+1][1][0],1ll*(10ll*dp[i][1][0])%mod*inv3%mod);add(P[i+1][1][0],1ll*P[i][1][0]*inv3%mod);// edr edr dp[1][1]add(dp[i+1][1][0],((1ll*dp[i][1][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][1][1]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][1][0],1ll*P[i][1][1]*inv3%mod);add(dp[i+1][1][1],((1ll*dp[i][1][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][1][1]*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][1][1],1ll*P[i][1][1]*inv3%mod);add(dp[i+1][1][1],((10ll*dp[i][1][1]%mod*inv3%mod)+9ll*P[i][1][1]%mod*inv3%mod)%mod);add(P[i+1][1][1],1ll*P[i][1][1]*inv3%mod);}int ans=0;add(ans,dp[k][0][0]);add(ans,dp[k][0][1]);add(ans,dp[k][1][0]);add(ans,dp[k][1][1]);printf("%d",ans);return 0;
}

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