[SCOI2008]奖励关（期望dp）

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Solution

注意到这题数据范围不大，我们可以放开了设计状态，设dp[i][j]表示正在进行第i轮掉落，目前的已拥有集合为j。

期望dp，要倒退，一个状态的期望等于他能转移的n个状态的期望平均值。

转移：枚举i和j，枚举下一个要掉落的物品

if((j&ji[l])==ji[l]) dp[i][j]+=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j|(1<<l)]+(double)p[l]);

else dp[i][j]+=dp[i-1][j];

注意到当我能选择时会有两种决策，我只会取最大的。

最后状态要除以n。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int k,n,p[20],x,tag,ji[1<<15];
double dp[102][1<<15];
double ans,num;
int main()
{scanf("%d%d",&k,&n);for(int i=0;i<n;++i){scanf("%d",&p[i]);while(1){scanf("%d",&x);if(!x)break;ji[i]|=(1<<(x-1));}}int ma=(1<<n)-1;for(int i=1;i<=k;++i)for(int j=0;j<=ma;++j){for(int l=0;l<n;++l){if((j&ji[l])==ji[l])dp[i][j]+=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j|(1<<l)]+(double)p[l]);else dp[i][j]+=dp[i-1][j];}dp[i][j]/=(double)n;}printf("%.6lf",dp[k][0]);return 0;
}

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