luogu P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）

Weblink

https://www.luogu.com.cn/problem/P4745

Problem

Solution

显然考虑期望 dpdpdp 。因为只有一个终点 nnn，且状态已知，考虑逆推。

设 f[x]f[x]f[x] 表示点 xxx 到 nnn 的期望花费，或者可以说是从 nnn 到点 xxx 的期望花费。 d[x]d[x]d[x] 表示 xxx 点的度数，则有

f[x]=∑min⁡{f[x],f[y]}d[x]+1\displaystyle f[x]=\frac{ \sum \min \{ f[x],f[y] \} }{d[x]}+1f[x]=d[x]∑min{f[x],f[y]}+1

即，花费一枚硬币，选择原地不动，或者从 yyy 走到 xxx ，到达点 xxx 一共有 d[x]d[x]d[x] 条路，即一共有 d[x]d[x]d[x] 种情况，所以概率期望就是1d[x]\cfrac{1}{d[x]}d[x]1，花费的期望就为总花费乘上 1d[x]\cfrac{1}{d[x]}d[x]1。

观察公式显然可以发现对于一个点 xxx ，所有与 xxx 相邻的点 yyy，能对 xxx 产生贡献，当且仅当 f[y]<f[x]f[y]<f[x]f[y]<f[x] 。

假设对于点 xxx 而言，满足上述条件（f[y]<f[x]f[y]<f[x]f[y]<f[x]）的相邻点 yyy 点一共有 cnt[x]cnt[x]cnt[x] 个，则有

f[x]=(d[x]−cnt[x])×f[x]+∑f[y]+cnt[x]d[x]f[x]=∑f[y]+d[x]cnt[x]\begin{aligned} & \displaystyle f[x]= \frac{ (d[x]-cnt[x]) \times f[x] + \sum f[y]+cnt[x]}{d[x]} &\\& \displaystyle f[x]= \frac{\sum f[y] + d[x] }{cnt[x]} \end{aligned}f[x]=d[x](d[x]−cnt[x])×f[x]+∑f[y]+cnt[x]f[x]=cnt[x]∑f[y]+d[x]

显然 ∑f[y]\sum f[y]∑f[y] 可以直接把所有小于 f[x]f[x]f[x] 的都加起来，可以用最短路去实现，因为我们每次从队里拿出来的一定是最小的 f[y]f[y]f[y]，那么所有与他相邻的点都可以被他更新，我们就可以对于每一个 xxx 能到达的点 yyy ，求和，即 sum[y]=∑f[x]sum[y]=\sum f[x]sum[y]=∑f[x]。然后对于每一个点 yyy ，直接根据公式更新 f[y]f[y]f[y] 即可。

更新的时候，是从 nnn 出发，走到 111 ，即每次从 xxx 走到 yyy ，那么公式中的 xxx 就是 yyy ，也就是用所有的 xxx 去更新 yyy，每次更新的是 f[y]f[y]f[y] 而不是公式里的 f[x]f[x]f[x]。

Code

int n, m, t;
int head[N], ver[M], edge[M], tot, nex[N];
double d[N], cnt[N], sum[N];
double dist[N];
bool vis[N];void add(itn x, int y)
{ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[n] = 0;priority_queue<PDI, vector<PDI>, greater<PDI> > q;q.push({0.0, n});while(q.size()) {itn x = q.top().second;q.pop();if(vis[x]) continue;vis[x] = 1;for(int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {itn y = ver[i];if(vis[y]) continue;cnt[y] ++ ;sum[y] += dist[x];dist[y] = (d[y] + sum[y]) / cnt[y];q.push({dist[y], y});}}
}int main()
{memset(head, -1, sizeof head);scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= m; ++ i) {itn x, y;scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y);add(y, x);d[x] ++ ;d[y] ++ ;}dijkstra();printf("%.8f\n", dist[1]);return 0;
}

luogu P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）相关推荐

【bzoj5197】[CERC2017]Gambling Guide 期望dp+堆优化Dijkstra
题目描述给定一张n个点,m条双向边的无向图. 你要从1号点走到n号点.当你位于x点时,你需要花1元钱,等概率随机地买到与x相邻的一个点的票,只有通过票才能走到其它点. 每当完成一次交易时,你可以选择 ...
Luogu4745/Gym101620G CERC2017 Gambling Guide 期望、DP、最短路
传送门--Luogu 传送门--Vjudge 设$f_x$为从$x$走到$N$的期望步数如果没有可以不动的限制,就是隔壁HNOI2013 游走如果有可以不动的限制,那么\(f_x = ...
[BZOJ5197] [CERC2017]Gambling Guide
[BZOJ5197] [CERC2017]Gambling Guide 题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5197 Solut ...
CERC2017 Gambling Guide，最短路变形，期望dp
题目链接题面链接题意给定一个无向图,你需要从111点出发到达n" role="presentation" style="position: relativ ...
BZOJ5197:[CERC2017]Gambling Guide(最短路,期望DP)
Description 给定一张n个点,m条双向边的无向图. 你要从1号点走到n号点.当你位于x点时,你需要花1元钱,等概率随机地买到与x相邻的一个点的票,只有通过票才能走到其它点. 每当完成一次交易 ...
2021牛客暑期多校训练营6 :D Gambling Monster 期望dp + fwt + cdq分治
传送门文章目录题意: 思路: 题意: 给你一个大轮盘,被分成了nnn个区域0,1,2,..,n−10,1,2,..,n-10,1,2,..,n−1,每个区域被转到的概率是ai∑j=0n−1aj\f ...
Luogu P3830 [SHOI2012]随机树 | 期望 DP
题目链接第$1$问设$g(i)$为当有$i$个叶节点时,树的叶节点的平均深度的期望值. 假如现在有$(i-1)$个叶节点,现在要等概率地展开一个叶节点,那么展开的那个叶节点的期望深度为$g(i-1 ...
Luogu P1850换教室【期望dp】By cellur925
题目传送门首先这个题我们一看它就是和概率期望有关,而大多数时候在OI中遇到他们时,都是与dp相关的. $Vergil$学长表示,作为$NOIp2016$的当事人,他们考前奶联赛一定不会考概率 ...
bzoj5197:[CERC2017]Gambling Guide
传送门好像概率期望也写过一些题了,但是没啥用,还是不会套路,看了题解才会写首先设$f[x]$为$x$到$n$的期望最少步数,$deg_x$表示$x$的度数不考虑不动,显然\( ...

luogu P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）

P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）

luogu P4745 [CERC2017]Gambling Guide（期望DP + 最短路实现）相关推荐

最新文章

热门文章