初等数论--同余方程--二元一次不定方程的通解形式

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

不定方程：变量个数>方程个数

若二元一次不定方程ax+by=nax+by=nax+by=n有解，x0,y0x_0,y_0x0,y0为它的一组整数解，则通解为{x=x0+b(a,b)⋅ty=y0−a(a,b)⋅tt∈Z\left\{ \begin{aligned} x & = & x_0+\frac{b}{(a,b)}·t \\ y & = & y_0-\frac{a}{(a,b)}·t \end{aligned} t\in Z \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧xy==x0+(a,b)b⋅ty0−(a,b)a⋅tt∈Z

证明：

该形式确实是二元一次方程的解

将x,yx,yx,y代入原方程，得：
a(x0+b(a,b)⋅t)+b(y0−a(a,b)⋅t)=ax0+ab(a,b)⋅t+by0−ba(a,b)⋅t=ax0+by0=na(x_0+\frac{b}{(a,b)}·t)+b(y_0-\frac{a}{(a,b)}·t)\\ =ax_0+a\frac{b}{(a,b)}·t+by_0-b\frac{a}{(a,b)}·t\\ =ax_0+by_0\\ =na(x0+(a,b)b⋅t)+b(y0−(a,b)a⋅t)=ax0+a(a,b)b⋅t+by0−b(a,b)a⋅t=ax0+by0=n

二元一次不定方程的解都可以表达成这种形式

已知{ax+by=nax0+by0=n\left\{ \begin{aligned} ax+by=n \\ ax_0+by_0=n \end{aligned} \right. {ax+by=nax0+by0=n
联立方程，相减得
a(x−x0)+b(y−y0)=0a(x−x0)=−b(y−y0)a(a,b)(x−x0)=−b(a,b)(y−y0)a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\\ a(x-x_0)=-b(y-y_0)\\ \frac{a}{(a,b)}(x-x_0)=-\frac{b}{(a,b)}(y-y_0)a(x−x0)+b(y−y0)=0a(x−x0)=−b(y−y0)(a,b)a(x−x0)=−(a,b)b(y−y0)
因为a(a,b)∤b(a,b),且b(a,b)∣a(a,b)(x−x0),\frac{a}{(a,b)}\nmid \frac{b}{(a,b)},且\frac{b}{(a,b)}\mid \frac{a}{(a,b)}(x-x_0),(a,b)a∤(a,b)b,且(a,b)b∣(a,b)a(x−x0),所以b(a,b)∣x−x0\frac{b}{(a,b)}\mid x-x_0(a,b)b∣x−x0,即x−x0=b(a,b)⋅tx-x_0=\frac{b}{(a,b)}·tx−x0=(a,b)b⋅t
同理，a(a,b)∣y−y0\frac{a}{(a,b)}\mid y-y_0(a,b)a∣y−y0,即y−y0=−a(a,b)⋅ty-y_0=-\frac{a}{(a,b)}·ty−y0=−(a,b)a⋅t

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