莫比乌斯反演的证明（非狄利克雷卷积法）

首先给大家介绍一下莫比乌斯函数吧，其实这个函数挺好理解的，只是一个容斥系数
μ(d)的定义是:
当d=1时，μ(d)=1；
当d=Πki=1pi且pi为互异素数时，μ(d)=(−1)k。(说直白点，就是d分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)；
只要当d含有任何质因子的幂次大于等于2，则函数值为0.

莫比乌斯函数的性质

1、对于任意正整数n，∑d|nμ(d)=[n=1]。（[n=1]表示只有当n=1成立时，返回值为1；否则，值为0；(这个就是用μ是容斥系数的性质可以证明)(PS:这一条性质是莫比乌斯反演中最常用的)
2、对于任意正整数n，∑d|nμ(d)d=ϕ(n)n。（这个性质很奇妙，它把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来）

介绍完性质现在再来介绍一下那个莫比乌斯函数的公式
定理：F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件：
F(n)=∑d|nf(d)
那么存在一个结论：

f(n)=∑d|nμ(d)F(⌊nd⌋)
这个定理就称作莫比乌斯反演定理。

这个公式的证明：

对于莫比乌斯函数的线性筛法（其实就是在筛质数的前提下进行筛，如果这个数是质数，那么他的莫比乌斯函数就为-1，如果是能被i*(primes[j])消掉的话，他的莫比乌斯函数就为0，否则就为-mobius[i]
下面请看代码：

void get_mu(int n)
{mu[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++){vis[prim[j]*i]=1;if(i%prim[j]==0)break;else mu[i*prim[j]]=-mu[i];}}}

至于狄利克雷卷积法，我学了之后再补充吧哈哈哈

注意

当d是n的倍数的时候也满足莫比乌斯反演定理，推导过程如下

这个μ是莫比乌斯函数的意思

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