高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）是用高斯概率密度函数（正态分布曲线）精确地量化事物，将一个事物分解为若干的基于高斯概率密度函数（正态分布曲线）形成的模型。通俗点讲，无论观测数据集如何分布以及呈现何种规律，都可以通过多个单一高斯模型的混合进行拟合。

1、对图像背景建立高斯模型的原理：

图像灰度直方图反映的是图像中某个灰度值出现的频次，也可以以为是图像灰度概率密度的估计。如果图像所包含的目标区域和背景区域相差比较大，且背景区域和目标区域在灰度上有一定的差异，那么该图像的灰度直方图呈现双峰-谷形状，其中一个峰对应于目标，另一个峰对应于背景的中心灰度。对于复杂的图像，尤其是医学图像，一般是多峰的。通过将直方图的多峰特性看作是多个高斯分布的叠加，可以解决图像的分割问题。在智能监控系统中，对于运动目标的检测是中心内容，而在运动目标检测提取中，背景目标对于目标的识别和跟踪至关重要。而建模正是背景目标提取的一个重要环节。

我们首先要提起背景和前景的概念，前景是指在假设背景为静止的情况下，任何有意义的运动物体即为前景。建模的基本思想是从当前帧中提取前景，其目的是使背景更接近当前视频帧的背景。即利用当前帧和视频序列中的当前背景帧进行加权平均来更新背景,但是由于光照突变以及其他外界环境的影响，一般的建模后的背景并非十分干净清晰，而高斯混合模型(GMM，Gaussian mixture model)是建模最为成功的方法之一，同时GMM可以用在监控视频索引与检索。

混合高斯模型使用K（基本为3到5个）个高斯模型来表征图像中各个像素点的特征（以第一帧为背景帧）,在新一帧图像获得后更新混合高斯模型,用当前图像中的每个像素点与混合高斯模型匹配,如果成功则判定该点为背景点, 否则为前景点。通观整个高斯模型，他主要是有方差和均值两个参数决定,对均值和方差的学习,采取不同的学习机制,将直接影响到模型的稳定性、精确性和收敛性。由于我们是对运动目标的背景提取建模，因此需要对高斯模型中方差和均值两个参数实时更新。为提高模型的学习能力,改进方法对均值和方差的更新采用不同的学习率;为提高在繁忙的场景下,大而慢的运动目标的检测效果,引入权值均值的概念,建立背景图像并实时更新,然后结合权值、权值均值和背景图像对像素点进行前景和背景的分类。

GMM之所以能够将前景和背景分开是基于如下两点事实的：

(1)在长期观测的场景中，背景占大多数时间，更多的数据是支持背景分布的

(2)即使是相对颜色一致的运动物体也会比背景产生更多变化，况且一般情况下物体都是带有不同颜色的。

2.混合高斯背景建模算法流程

1.每个新像素值Xt同当前K个模型按下式进行比较，直接找到匹配新像素值的分布模型，即同该模型的均值偏差在2.5σ内：

2.如果所匹配的模式符合背景要求，则该像素属于背景，否则属于前景。

3.各个模式权值按如下方式进行更新，其中a是学习速率，对于匹配的模式Mk,t=1,否则Mk,t=0，然后各模式的权重进行归一化：

4.未匹配模式的均值μ和标准差σ不变，匹配模式的参数按照如下更新：

5.如果，第一步中没有任何模式匹配，则权重最小的模式被替换，即该模式的均值为当前像素值，标准差为初始较大值，权重为较小值。

6.各模式根据w/a^2按降序排列，权重大、标准差小的模式排列在前。

7.选前B个模式作为背景，B满足下式，参数T表示背景所占的比例：



参考：

http://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/60883147

http://blog.csdn.net/jinshengtao/article/details/26278725

https://baike.baidu.com/item/高斯混合模型/8878468

参考代码（MATLAB、未验证）

%Author: Ziheng H. Shen @Tsinghua Univ.

%HybridGaussModel @Digital Image Process Practice

%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clc;

clear all;

cntFrame = 23;

obj = VideoReader('768x576.avi');

numFrames = obj.NumberOfFrames;

for k = 1 : cntFrame

frame = read(obj,k);

imwrite(frame,...

strcat('C:\Users\Zi-Heng Shen\Documents\MATLAB\BackGroundModel\混合高斯背景建模\',...

num2str(k),'.bmp'),'bmp');

end

%% 参数定义及初始化

I = imread('1.bmp');                    %读入第一帧作为背景帧

fr_bw = I;

[height,width] = size(fr_bw);           %求每帧图像大小

width = width/3;                        %排除颜色通道数

fg = zeros(height, width);              %定义前景和背景矩阵

bg_bw = zeros(height, width);

C = 3;                                  % 单高斯模型的个数(通常为3-5)

M = 3;                                  % 代表背景的模型个数

D = 2.5;                                % 偏差阈值

alpha = 0.01;                           % 学习率

thresh = 0.25;                          % 前景阈值

sd_init = 15;                           % 初始化标准差

w = zeros(height,width,C);              % 初始化权重矩阵

mean = zeros(height,width,C);           % 像素均值

sd = zeros(height,width,C);             % 像素标准差

u_diff = zeros(height,width,C);         % 像素与某个高斯模型均值的绝对距离

p = alpha/(1/C);                        % 初始化p变量，用来更新均值和标准差

rank = zeros(1,C);                      % 各个高斯分布的优先级（w/sd)

pixel_depth = 8;                        % 每个像素8bit分辨率

pixel_range = 2^pixel_depth -1;         % 像素值范围[0,255]

for i=1:height

for j=1:width

for k=1:C

mean(i,j,k) = rand*pixel_range;     %初始化第k个高斯分布的均值

w(i,j,k) = 1/C;                     % 初始化第k个高斯分布的权重

sd(i,j,k) = sd_init;                % 初始化第k个高斯分布的标准差

end

end

end

for n = 1:cntFrame

frame=strcat(num2str(n),'.bmp');

I1 = imread(frame);  % 依次读入各帧图像

fr_bw = I1;

% 计算新像素与第m个高斯模型均值的绝对距离

for m=1:C

u_diff(:,:,m) = abs(double(fr_bw(:,:,m)) - double(mean(:,:,m)));

end

% 更新高斯模型的参数

for i=1:height

for j=1:width

match = 0;                                       %匹配标记;

for k=1:C

if (abs(u_diff(i,j,k)) <= D*sd(i,j,k))       % 像素与第k个高斯模型匹配

match = 1;                               %将匹配标记置为1

% 更新权重、均值、标准差、p

w(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k) + alpha;

p = alpha/w(i,j,k);

mean(i,j,k) = (1-p)*mean(i,j,k) + p*double(fr_bw(i,j));

sd(i,j,k) =   sqrt((1-p)*(sd(i,j,k)^2) + p*((double(fr_bw(i,j)) - mean(i,j,k)))^2);

else                                         % 像素与第k个高斯模型不匹配

w(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k);           %略微减少权重

end

end

bg_bw(i,j)=0;

for k=1:C

bg_bw(i,j) = bg_bw(i,j)+ mean(i,j,k)*w(i,j,k);

end

% 像素值与任一高斯模型都不匹配，则创建新的模型

if (match == 0)

[min_w, min_w_index] = min(w(i,j,:));      %寻找最小权重

mean(i,j,min_w_index) = double(fr_bw(i,j));%初始化均值为当前观测像素的均值

sd(i,j,min_w_index) = sd_init;             %初始化标准差为6

end

rank = w(i,j,:)./sd(i,j,:);                    % 计算模型优先级

rank_ind = [1:1:C];%优先级索引

% 计算前景

fg(i,j) = 0;

while ((match == 0)&&(k<=M))

if (abs(u_diff(i,j,rank_ind(k))) <= D*sd(i,j,rank_ind(k)))% 像素与第k个高斯模型匹配

fg(i,j) = 0; %该像素为背景，置为黑色

else

fg(i,j) = 255;    %否则为前景，置为白色

end

k = k+1;

end

end

end

figure(n)

subplot(1,3,1),imshow(fr_bw);               %显示最后一帧图像

subplot(1,3,2),imshow(uint8(bg_bw))         %显示背景

disk = strel('disk',1);disk1 = strel('disk',4);

subplot(1,3,3),imshow(imdilate(imerode(uint8(fg),disk),disk1));   %显示前景

end</span>

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