[洛谷]P1220 关路灯 (#区间dp)

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入输出格式

输入格式：

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式：

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1

说明

输出解释：

{此时关灯顺序为3 4 2 1 5，不必输出这个关灯顺序}

思路

一道区间dp的好题。

思考这样一个问题：老张朝某个方向走以后，他的状态有什么改变？是他把某段区间的灯全部关掉。在任何时候，所关的灯都是一段连续的区间。

令状态dp[i][j]为区间[i,j]的灯目前关闭时的最小消耗电功。这里的最小消耗电功是指从开始到现在的所有灯的消耗数。

但是我们还要知道老张在哪，所以还得再加一维。令dp[i][j][k]为老张在第k个位子上时，区间[i,j]的当目前关闭时的最小消耗电功。但是此时的复杂度达到了O(n^3)，数组开销也较大。

注意在最优解里面，如果目前位置在i，那么就可以走到i-1，也可以花j-i+1的时间走到j+1。老张在区间[i,j]里，要么在i，要么在j，这是显然的。所以第3维有2种状态。令dp[i][j][k]代表区间i，j的灯目前关闭时老张在i处(k==0)或j处(k==1)的时间点最小消耗电功。则有：

dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+elecwork(), dp[i+1][j][1]+elecwork());

dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+elecwork(), dp[i][j-1][1]+elecwork());

其中elecwork()计算从上一个区间转移过来时没关的路灯消耗的电。

要计算某阶段消耗的电力，则需要知道这一段的路程（即时间）和没有关的电灯的功率之和。电功之和可以用前缀和计算，复杂度为O(1)。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;
int dp[51][51][2],n,c,s,sum[51];
typedef struct
{int position,ew;
}lxydl;
lxydl a[51];
inline int elecwork(int i,int j,int l,int r)
{return (a[j].position-a[i].position)*(sum[l]+sum[n]-sum[r-1]);
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);register int i,j,k,l;memset(dp,9999999,sizeof(dp));cin>>n>>c;for(i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].position>>a[i].ew;sum[i]=sum[i-1]+a[i].ew;}dp[c][c][0]=dp[c][c][1]=0;//在初始位置上灯是关的 for(l=2;l<=n;l++){for(i=1;i+l-1<=n;i++){j=i+l-1;dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+elecwork(i,i+1,i,j+1)/*是继续走下去？*/,dp[i+1][j][1]+elecwork(i,j,i,j+1)/*还是折返到j点？*/);dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+elecwork(i,j,i-1,j),dp[i][j-1][1]+elecwork(j-1,j,i-1,j));}}cout<<min(dp[1][n][0],dp[1][n][1])<<endl;return 0;
}