[生存志] 第117节九章算术均徭赋

九章算术均徭赋

贾谊在27岁时向汉文帝进献的《治安策》一文，洋洋洒洒6844个字，写了汉帝国开国30年时的九件让他忧伤难过的事情，所谓『可为痛哭者一，可为流涕者二，可为长太息者六』，可痛哭者是“诸侯权大”，可流涕者“匈奴侵边”和“耽于射猎”，可长太息者是“民风奢侈”、“民俗败坏”、“君臣失纪”、“太子不习”、“国君无威”、“赏罚不严”这六件事情。汉帝国从秦末一片废墟起步，经过三十年“绝圣弃智、绝巧弃利、上德不德、上善若水”的“无为而治”，让市场经济充分地自由运作，使得民间工商业焕发出了蓬勃生机，以致于富人家的墙壁都有精美装饰，使唤的僮仆都衣着光鲜亮丽，『民卖僮者，为之绣衣丝履偏诸缘；庶人屋壁得为帝服，倡优下贱得为后饰；富民墙屋被文绣，庶人孽妾缘其履』，百姓的衣食用度比皇家的规格还要高。但是贾谊并不为百姓富足和安康而兴奋，而是为皇权受到超越和威胁而忧愁，皇帝一家自己都没觉得有什么不妥，他偏要跳出来痛哭流涕，好像立马要国将不国了似的。

贾谊如同“林黛玉”一般多愁善感，才华横溢却又言过其实，他的老师“张苍”则是脚踏实地，一步一个脚印地干好份内之事，就如同那个年代大多数的臣僚宦吏一样。张苍出生于公元前256年，他的一生活了94岁。他是“荀子”的学生，但在他18岁时“荀子”就死去了。他出任过秦朝的御史，后来跟随刘邦一起闹革命。因为颜值很高，他逃过了一次被斩首的危机；因为颇有功劳，他后来列任各郡国的“国相”；因为精通计算，他长期负责国家财政审计。在他负责审计各郡国会计帐簿的那些年里，他增订和删补了著名的数学教材《九章算术》，划分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算术》的方田章共有题38个，粟米章共有题46个，衰分章共有题20个，少广章共有题24个，商功章共有题29个，均输章共有题28个，盈不足章共有题21个，方程章共有题18个，勾股章共有题24个，九章题共计248个，在计算机程式帮助下，需20小时完成，如果只使用计算器，需100小时完成，如果纯手工计算，需500小时完成。那个年代没有小数系统，只使用分数进行计算，人们也不刻意区分单位的维度，单位的维度隐藏在问题上下文中，经常可以看到“步”和“尺”贯穿使用于长度、面积、体积系统中。人们用“少半”指代1/3，用“太半”指代2/3，并用“如、却、损、益”等词指代加减，这些都具有浓厚的时代气息。在“九章算术”中，等差数列和等比数列的运用经常可见，等差数列的和会带来一元二次方程的求解问题，等比数列的和则会带来指数方程的求解问题。

《九章算术》的“方田章”引入了包括加、减、乘、除、约分、通分在内的“分数”基本运算，并给出了“方田”，也就是矩形田，“圭田”，也就是三角形田，“邪田”，也就是直角梯形田，“箕田”，也就是等腰梯形田，“圆田”，也就是圆形田，“宛田”，也就是扇形田，“弧田”，也就是弓形田，“环田”，也就是环形田等多种类型田地的面积计算实例。那个时代对“割圆术”还没有深入研究，因此以“3”作为圆周率来代入计算，与圆相关的形状也不完全严格，但用于工农业生产，却是可以方便地口算出结果。“少广章”可以看作“方田章”的逆运算，是根据田地的面积算出边长，主要涉及到分数的除法，还涉及了手算“开平方”、“开立方”运算。

《九章算术》的“粟米章”，对百姓主食的“粟、菽、答、麻、麦、稻、豉(Chi1)”，也就是各种谷子豆子，“粝米”、“稗米”、“绺米”、“御米”，也就是各种精细度的米，“粝饭、稗饭、绺饭、御饭”，也就是各种饭食，“飧、熟菽、浆”，也就是稀饭、米汤等食物，给出了代换比例，这些比例的意义在于进行粮食配送时，即使粮食种类不同，也能保证价值相当。这些代换比例大致是1份米相当于1.5份谷子，相当于2.5份饭食，相当于4份稀饭。

《九章算术》的“衰分章”，反映的是“集合部分”按照各自的权重对“集合整体”进行分配的计算，对“等差数列”和“等比数列”已经有所涉及，主要应用场景是徭役任务的公平分配。“商功章”、“均输章”跟“衰分章”一样，都与徭役、赋税任务的公平分配紧密相关。“商功章”对各种几何体的体积，包括棱柱、圆柱、棱台（称作“方亭”）、圆台（称作“圆亭”）、方锥、圆锥、三棱柱（称作“堑堵”）、三棱锥（称作“阳马”）、四面体（称作“鳖臑(Bie1Nao4)”）、直五面楔体（称作“羡除”，它的特例是“刍甍(Hong1)”)、两个等高“刍甍(Hong1)”合成的六面体（有“刍童”、“冥谷”等，圆弧化后有“曲池”、“盘池”等），以及平地、靠墙、靠角落堆放谷物的体积等都进行了计算。“均输章”主要应用于计算赋税输送，综合考虑了人口、运费、耗时等诸多方面的问题。此外，它还涉及到了兑换、追逐、相遇、合作都方面的问题。

《九章算术》的后三章和“张苍”无关，是后人增加上去的，它们不涉及民生、徭役、赋税的具体问题，只是纯粹的数学问题。在“盈不足章”中，涉及到了二元一次方程组，以及等差数列和等比数列的求和。在“方程章”中，从二元一次方程组到六元一次方程组都有所涉及，在“勾股章”中，则涉及到了一元二次方程组和二元二次方程组的求解，以及相似三角形的应用和计算。

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附：九章算术全解

一：《方田》

[方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。]
S = W * L / 240

1、方田:今有田广十五步，从十六步。问为田几何？
　　答曰：一亩。
>>> 15*16
240

2、方田:又有田广十二步，从十四步。问为田几何？
　　答曰：一百六十八步。
>>> 12*14
168

/
[里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。]
S = W * L / 375

3、方田:今有田广一里，从一里。问为田几何？
　　答曰：三顷七十五亩。
>>> 375*240
90000
>>> _**0.5
300.0 [1里 = 300步]
>>> 90000/240
375.0 [1 平方里 = 375 亩]

4、方田:又有田广二里，从三里。问为田几何？
　　答曰：二十二顷五十亩。
>>> 2*3*90000/240
2250.0

/
[约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。]

5、方田:今有十八分之十二。问约之得几何？
　　答曰：三分之二。

>>> 12/18
0.6666666666666666

6、方田:又有九十一分之四十九。问约之得几何？
　　答曰：十三分之七。
>>> 49/91
0.5384615384615384
>>> 7/13
0.5384615384615384

//
[合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。]

7、方田:今有三分之一，五分之二。问合之得几何？
　　答曰：十五分之十一。
>>> 1/3+2/5
0.7333333333333334
>>> 11/15
0.7333333333333333

8、方田:又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？
　　答曰：得一、六十三分之五十。
>>> 2/3+4/7+5/9
1.7936507936507937
>>> 1+50/63
1.7936507936507935

9、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？
　　答曰：得二、六十分之四十三。
>>> 1/2+2/3+3/4+4/5
2.716666666666667
>>> 2+43/60
2.716666666666667

//
[减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。]

10、方田:今有九分之八，减其五分之一。问馀几何？
　　答曰：四十五分之三十一。

>>> 8/9-1/5
0.6888888888888889
>>> 31/45
0.6888888888888889

11、方田:又有四分之三，减其三分之一。问馀几何？
　　答曰：十二分之五。

>>> 3/4-1/3
0.4166666666666667
>>> 5/12
0.4166666666666667

//
[课分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。]
12、方田:今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？
　　答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
>>> 5/8-16/25
-0.015000000000000013
>>> 3/200
0.015

13、方田:又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？
　　答曰：九分之八多，多六十三分之二。
>>> 8/9-6/7
0.031746031746031744
>>> 2/63
0.031746031746031744

14、方田:又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？几何？
　　答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
>>> 8/21-17/50
0.04095238095238091
>>> 43/1050
0.040952380952380955

//
[平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，馀，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。]

15、方田:今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？
　　答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。　

>>> (1/3+2/3+3/4)/3
0.5833333333333334
>>> 7/12
0.5833333333333334

16、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？
　　答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
　　
>>> (1/2+2/3+3/4)/3
0.6388888888888888
>>> 23/36
0.6388888888888888

//
[经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。]

17、方田:今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？
　　答曰：人得一钱、二十一分钱之四。
>>> (8+1/3)/7
1.1904761904761905
>>> 1+4/21
1.1904761904761905

18、方田:又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？
　　答曰：人得二钱、八分钱之一。
>>> (6+1/3+3/4)/(3+1/3)
2.125
>>> 2+1/8
2.125

//
[乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。]

19、方田:今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？
　　答曰：三十五分步之十二。

>>> 4/7*3/5
0.34285714285714286
>>> 12/35
0.34285714285714286

20、方田:又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？
　　答曰：十一分步之七。
>>> 7/9*9/11
0.6363636363636364
>>> 7/11
0.6363636363636364

21、方田:又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？
　　答曰：九分步之四。
>>> 4/5*5/9
0.4444444444444444
>>> 4/9
0.4444444444444444

//
[大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。]

22、方田:今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？
　　答曰：十八步。
>>> (3+1/3)*(5+2/5)
18.000000000000004

23、方田:又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？
　　答曰：一百二十步、九分步之五。
>>> (7+3/4)*(15+5/9)
120.55555555555556
>>> 120+5/9
120.55555555555556

24、方田:又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？
　　答曰：一亩二百步、十一分步之七。
>>> (18+5/7)*(23+6/11)
440.6363636363637
>>> 240+200+7/11
440.6363636363636

//
[术曰：半广以乘正从。　]
S = 1/2 * a * h 三角形面积

25、方田:今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
　　答曰：一百二十六步。
>>> 12*21/2
126.0

26、方田:又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？
　　答曰：二十三步、六分步之五。
>>> 23+5/6
23.833333333333332
>>> 5.5*8.67/2
23.8425　

//
[术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。]
S = 1/2 * (a + b) * h 直角梯形面积

27、方田:今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
　　答曰：九亩一百四十四步。
>>> f = lambda a, b, h:(a+b)*h/2
>>> f(30, 42, 64)
2304.0
>>> 9*240+144
2304

28、方田:又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？
　　答曰：二十三亩七十步。
>>> f = lambda a, b, h:(a+b)*h/2
>>> f(100,72,65)
5590.0
>>> 23*240+70
5590

//
[术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。]
S = 1/2 * (a + b) * h 等腰梯形面积

29、方田:今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？
　　答曰：一亩一百三十五步。
>>> f = lambda a, b, h:(a+b)*h/2
>>> f(20,5,30)
375.0
>>> 240+135
375

30、方田:又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？
　　答曰：四十六亩二百三十二步半。
>>> f(117,50,135)
11272.5
>>> 46*240+232.5
11272.5

//
[术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一。又术曰：径自相乘，三之，四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。]

注：这里的圆田都不是“正圆”，圆周率还没有被求解出来，大致以3倍代替

31、方田:今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？
　　答曰：七十五步。
>>> 30*10/4
75.0
#实际值：
>>> 3.14*25
78.5

32、方田:又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？
　　答曰：十一亩九十步、十二分步之一。
>>> 11*240+90+1/12
2730.0833333333335
>>> 181*60.33/4
2729.9325
#实际值：
>>> 60.33**2/4*3.14
2857.1714865

//
[术曰：以径乘周，四而一。]
S = L * R 扇形面积

33、方田:今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？
　　答曰：一百二十步。
>>> 30*16/4
120.0

34、方田:又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？
　　答曰：五亩六十二步、四分步之一。
>>> 99*51/4
1262.25
>>> 5*240+62.25
1262.25

//
[术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。]
S = (c * h + h * h)/2 #这种方法计算弓形面积是不够准确的

35、方田:今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？
　　答曰：一亩九十七步半。
import math;
h = 13+7/9;
c = 78.5;
alpha = math.atan(h/c*2)*2; #弓形圆心角的一半
R = c/2/math.sin(alpha); #圆半径
S_tri = c/2*R*math.cos(alpha)/2; #三角形面积
S_fan = 0.5*alpha * R**2; #扇形面积
S = (S_fan-S_tri)*2
print(S_tri, S_fan);
print('弓形面积：', S);
>>>
6.8886382452038615e-15 176.71458676442586
弓形面积： 353.4291735288517
>>> 240+97.5
337.5
#误差率4.5%
>>> (353.43-337.5)/353.43
0.04507257448433921

36、方田:又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？
　　答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
>>>
961.9904408882169 1331.243226190979
弓形面积： 738.5055706055241
>>> 2*240+155+56/81
635.6913580246913 #误差率在14%

//
[术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。
密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，馀半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，馀积步之分。以亩法除之，即亩数也。]
S = （L1 + L2）/2*D #实用价值高，但并不是精确的圆

37、方田:今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？
　　答曰：二亩五十五步。
>>> s = lambda L1, L2: 3.142*((L1/6.284)**2-(L2/6.284)**2); #L1 > L2
>>> s(122, 92);
510.82113303628284
>>> (92+122)*5/2
535.0
>>> 2*240+55
535

38、方田:又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？
　　答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。
>>> s = lambda L1, L2: 3.142*((L1/6.284)**2-(L2/6.284)**2); #L1 > L2
>>> s(113.5, 62.75);
711.703333863781
>>> 4*240+156.25
1116.25
>>> (62.75+113.5)*12.67/2
1116.54375

二：《粟米》

粟米:粟米之法：粟率五十；粝米三十
　　稗米二十七；绺米二十四
　　御米二十一；小?十三半
　　大?五十四；粝饭七十五
　　稗饭五十四；绺饭四十八
　　御饭四十二；菽、答、麻、麦各四十五
　　稻六十；豉六十三
　　飧九十；熟菽一百三半
　　櫱一百七十五
　　今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

scale = [['小',13.5],['御米',21],['绺米',24],['稗米',27],\
['粝米',30],['御饭',42],['菽',45],\
['答',45],['麻',45],['麦',45],\
['绺饭',48],\
['粟', 50],['大',54],['稻',60], ['豉',63],['粝饭',75],\
['飧',90],['熟菽',103.5],['浆',175]];

food1 = '粟';
food2 = '粝米';

a1 = 0;
a2 = 0;

for i in range(len(scale)):
if scale[i][0] == food1:
a1 = scale[i][1];
if scale[i][0] == food2:
a2 = scale[i][1];

print(a1,food1, '=', a2, food2);

[注：粟产量0.15公斤/平米]

//
[术曰：以粟求粝米，三之，五而一。]

1、粟米:今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？
　　答曰：为粝米六升。
>>>
50 粟 = 30 粝米

//
[术曰：以粟求稗米，二十七之，五十而一。]
2、粟米:今有粟二斗一升，欲为稗米。问得几何？
　　答曰：为稗米一斗一升、五十分升之十七。
>>>
50 粟 = 27 稗米
11.34

//
[术曰：以粟求绺米，十二之，二十五而一。]
3、粟米:今有粟四斗五升，欲为绺米。问得几何？
　　答曰：为绺米二斗一升、五分升之三。
>>>
50 粟 = 24 绺米
21.6
　　
[术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。]
4、粟米:今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？
　　答曰：为御米三斗三升、五十分升之九。
>>>
50 粟 = 21 御米
33.18　

5、粟米:今有粟一斗，欲为小?。问得几何？
　　答曰：为小?二升、一十分升之七。
　　术曰：以粟求小?，二十七之，百而一。

6、粟米:今有粟九斗八升，欲为大?。问得几何？
　　答曰：为大?一十斗五升、二十五分升之二十一。
　　术曰：以粟求大?，二十七之，二十五而一。

7、粟米:今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？
　　答曰：为粝饭三斗四升半。
　　术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

8、粟米:今有粟三斗六升，欲为稗饭。问得几何？
　　答曰：为稗饭三斗八升、二十五分升之二十二。
　　术曰：以粟求稗饭，二十七之，二十五而一。

9、粟米:今有粟八斗六升，欲为绺饭。问得几何？
　　答曰：为绺饭八斗二升、二十五分升之一十四。
　　术曰：以粟求绺饭，二十四之，二十五而一。

10、粟米:今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？
　　答曰：为御饭八斗二升、二十五分升之八。
　　术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

11、粟米:今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？
　　答曰：为菽二斗七升、一十分升之三。

12、粟米:今有粟四斗一升、太半升，欲为答。问得几何？
　　答曰：为答三斗七升半。

13、粟米:今有粟五斗、太半升，欲为麻。问得几何？
　　答曰：为麻四斗五升、五分升之三。

14、粟米:今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问得几何？
　　答曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。
　　术曰：以粟求菽、答、麻、麦，皆九之，十而一。

15、粟米:今有粟七斗五升、七分升之四，欲为稻。问得几何？
　　答曰：为稻九斗、三十五分升之二十四。
　　术曰：以粟求稻，六之，五而一。

16、粟米:今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？
　　答曰：为豉九斗八升、二十五分升之七。
　　术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

17、粟米:今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？
　　答曰：为飧九斗九升。
　　术曰：以粟求飧，九之，五而一。

18、粟米:今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？
　　答曰：为熟菽八斗二升、五分升之四。
　　术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

19、粟米:今有粟二斗，欲为櫱。问得几何？
　　答曰：为櫱七斗。
　　术曰：以粟求櫱，七之，二而一。

20、粟米:今有粝米十五斗五升、五分升之二，欲为粟。问得几何？
　　答曰：为粟二十五斗九升。
　　术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

21、粟米:今有稗米二斗，欲为粟。问得几何？
　　答曰：为粟三斗七升、二十七分升之一。
　　术曰：以稗米求粟，五十之，二十七而一。

22、粟米:今有绺米三斗、少半升，欲为粟。问得几何？
　　答曰：为粟六斗三升、三十六分升之七。
　　术曰：以绺米求粟，二十五之，十三而一。

23、粟米:今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？
　　答曰：为粟三十三斗三升、少半升。
　　术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

24、粟米:今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？
　　答曰：为粟一十斗五升、九分升之七。
　　术曰：以稻求粟，五之，六而一。

25、粟米:今有粝米一十九斗二升、七分升之一，欲为稗米。问得几何？
　　答曰：为稗米一十七斗二升、一十四分升之一十三。
　　术曰：以粝米求稗米，九之，十而一。

26、粟米:今有粝米六斗四升、五分升之三，欲为粝饭。问得几何？
　　答曰：为粝饭一十六斗一升半。
　　术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

27、粟米:今有粝饭七斗六升、七分升之四，欲为飧。问得几何？
　　答曰：为飧九斗一升、三十五分升之三十一。
　　术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

28、粟米:今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？
　　答曰：为熟菽二斗三升。
　　术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

29、粟米:今有菽二斗，欲为豉。问得几何？
　　答曰：为豉二斗八升。
　　术曰：以菽求豉，七之，五而一。

30、粟米:今有麦八斗六升、七分升之三，欲为小?，问得几何？
　　答曰：为小?二斗五升、一十四分升之一十三。
　　术曰：以麦求小?，三之，十而一。

31、粟米:今有麦一斗，欲为大?。问得几何？
　　答曰：为大?一斗二升。
　　术曰：以麦求大?，六之，五而一。

//
[经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱。]

32、粟米:今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？
　　答曰：一枚，八钱、九分钱之八。
>>> 160/18
8.88888888888889

33、粟米:今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？
　　答曰：一个，五钱、四十七分钱之三十五。
>>> 13500/2350
5.74468085106383
>>> 5+35/47
5.74468085106383
　　
//
[经术术曰：以所求率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。]

34、粟米:今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，问斗几何。
　　答曰：一斗，三百四十五钱、五百三分钱之一十五。
>>> 5785/16.75
345.3731343283582
>>> 345+15/503
345.02982107355865

35、粟米:今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？
　　答曰：一丈，一百一十八钱、六十一分钱之二。
>>> 720/(4+2+0.1)
118.03278688524591
>>> 118+2/61
118.0327868852459 （一匹 = 4丈）

36、粟米:今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？
　　答曰：一匹，二百四十四钱、一百二十九分钱之一百二十四。
>>> 2370/(9*4+2+0.7)*4
244.9612403100775
>>> 244+124/129
244.96124031007753

37、粟米:今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？
　　答曰：一石，八千三百二十六钱、一百九十七分钱之一百七十八。
>>> 13670/(1+0.5+17/120)
8326.903553299493
>>> 8326+178/197
8326.903553299493 （1石 = 4钧 = 120斤）

//
[其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。]

38、粟米:今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？
　　答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。
money = 576;
num = 78;

price = money // num;
num1 = money - price *num;
num2 = num - num1;

print(num1,'--', price+1, ', ', num2, '--', price);

>>>
30 -- 8 , 48 -- 7

39、粟米:今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？
　　答曰：其二钧八斤，斤五钱。其一石一十斤，斤六钱。
money = 1120;
num = 198;

price = money // num;
num1 = money - price *num;
num2 = num - num1;

print(num1,'--', price+1, ', ', num2, '--', price);

>>>
130 -- 6 , 68 -- 5

40、粟米:今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？
　　答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
>>> (30+9/16+12/24/16)*(8051/120)+(177+9/16+17/24/16)*8052/120
13970.0 # 24株=1两， 16两 = 1斤

41、粟米:今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？
　　答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。
>>> 13970/(6+28/30+(3+5/24)/16/30)
2012.9632640808513

42、粟米:今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问各几何？
　　答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱。其二十斤九两一铢，斤六十八钱。
>>> 13970/(6+28/30+(3+5/24)/16/30)/30
67.09877546936171

43、粟米:今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？
　　答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。其一钧一十斤五两四铢，两五钱。
>>> 13970/(6+28/30+(3+5/24)/16/30)/30/16
4.193673466835107

///
[反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少，实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。]

44、粟米:今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？
　　答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

>>> 13970/(6+28/30+(3+5/24)/16/30)/30/16/24
0.1747363944514628

45、粟米:今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问各几何？
　　答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱。其九百六十翭，四翭一钱。
>>> 610/2100
0.2904761904761905

46、粟米:今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？
　　答曰：其三百枚，五枚一钱。其五千五百二十枚，六枚一钱。
>>> 980/5820
0.16838487972508592

///

三：《衰分》

[衰分:衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。]

[术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。]

1、衰分:今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？
　　答曰：大夫得一鹿、三分鹿之二。不更得一鹿、三分鹿之一。簪裹得一鹿。上造得三分鹿之二。公士得三分鹿之一。
　
a = list(range(1,6));
total = sum(a);

mul = 5;

for i in range(len(a)-1, -1, -1):
print(mul * a[i]/total, end = ', ');

>>>
1.6666666666666667, 1.3333333333333333, 1.0, 0.6666666666666666, 0.3333333333333333,

[术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。]

2、衰分:今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？
　　答曰：牛主出二斗八升、七分升之四。马主出一斗四升、七分升之二。羊主出七升、七分升之一。
　　
a = [1, 2, 4];
total = sum(a);

mul = 5;

for i in range(len(a)-1, -1, -1):
print(mul * a[i]/total, end = ', ');
>>>
2.857142857142857, 1.4285714285714286, 0.7142857142857143,

[术曰：各置钱数为列衰，副并为法，以百钱乘未并者，各自为实，实如法得一钱。]

3、衰分:今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？
　　答曰：甲出五十一钱、一百九分钱之四十一。乙出三十二钱、一百九分钱之一十二。丙出一十六钱、一百九分钱之五十六。
　　
a = [560, 350, 180];
total = sum(a);

mul = 100;

for i in range(len(a)):
print(mul * a[i]/total, end = ', ');

>>>
51.37614678899082, 32.11009174311926, 16.513761467889907,

[术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法，以五尺乘未并者，各自为实，实如法得一尺。]

4、衰分:今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？
　　答曰：初日织一寸、三十一分寸之十九。次日织三寸、三十一分寸之七。次日织六寸、三十一分寸之十四。次日织一尺二寸、三十一分寸之二十八。次日织二尺五寸、三十一分寸之二十五。
　
a = [1]*5;

for i in range(1, len(a)):
a[i] = a[i-1]*2;

total = sum(a);

mul = 5;

for i in range(len(a)):
print(mul * a[i]/total, end = ', ');
　
>>>
0.16129032258064516, 0.3225806451612903, 0.6451612903225806, 1.2903225806451613, 2.5806451612903225,

[术曰：各置算数为列衰，副并为法，以所发傜人数乘未并者，各自为实，实如法得一人。]
5、衰分:今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？
　　答曰：北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。
　　
a = [8758, 7236, 8356];

total = sum(a);

mul = 378;

for i in range(len(a)):
print(mul * a[i]/total, end = ', ');

>>>
135.9558110882957, 112.3288706365503, 129.715318275154,

a = [8758, 7236, 8356];

total = sum(a);

mul = 378;

for i in range(len(a)):
res = mul * Fraction(a[i],total);
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');

>>>
135又11637/12175, 112又4004/12175, 129又8709/12175,

[术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰，副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。]

6、衰分:今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？
　　答曰：大夫出一斗、四分斗之一。不更出一斗。簪褭出四分斗之三。上造出四分斗之二。公士出四分斗之一。
　　
a = list(range(1,6));
b = a + [5];

total1 = sum(a);
total2 = sum(b);

mul = 15;

for i in range(len(a)-1, -1, -1):
res = mul * (Fraction(a[i],total1)-Fraction(a[i], total2));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

>>>
1又1/4, 1又0, 3/4, 1/2, 1/4,

[术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者，各自为实。实如法得一斛。
　　返衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。]
7、衰分:今有禀粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。问各几何？
　　答曰：三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。二人，人得七斗六升、十三分升之十二。
>>>
115又5/13, 115又5/13, 115又5/13, 76又12/13, 76又12/13,

a = [3]*3+[2]*2;

total = sum(a);

mul = 500; #升

for i in range(len(a)):
res = mul * (Fraction(a[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

　　
[术曰：置爵数各自为衰，而返衰之，副并为法。以百钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。]
8、衰分:今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？
　　答曰：大夫出八钱、一百三十七分钱之一百四。不更出一十钱、一百三十七分钱之一百三十。簪褭出一十四钱、一百三十七分钱之八十二。上造出二十一钱、一百三十七分钱之一百二十三。公士出四十三钱、一百三十七分钱之一百九。

>>>
8又104/137, 10又130/137, 14又82/137, 21又123/137, 43又109/137,

a = list(range(5, 0, -1));

for i in range(len(a)):
a[i] = Fraction(1,a[i]);

total = sum(a);

mul = 100;

for i in range(len(a)):
res = mul * (Fraction(a[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

[术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰、而返衰之，副并为法。以九升乘未并者各自为实。实如法得一升。]
9、衰分:今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？
　　答曰：甲二升、一十分升之七。乙四升、一十分升之五。丙一升、一十分升之八。

>>>
2又7/10, 4又1/2, 1又4/5,

a = [50, 30, 75];

for i in range(len(a)):
a[i] = Fraction(1,a[i]);

total = sum(a);

mul = 9;

for i in range(len(a)):
res = mul * (Fraction(a[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

[术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。]
10、衰分:今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？
　　答曰：五斤八两一十二铢、三分铢之四。　　

>>> 1328/240
5.533333333333333
>>> 5+8/16+12.75/24/16
5.533203125

[术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数，乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。]
11、衰分:今有丝一斤价直三百四十三。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？
　　答曰：一百六十一钱、三十二分钱之二十三。
>>> 343*7.5/16
160.78125
　　
[术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实，实如法得钱数。]
12、衰分:今有缣一丈价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？
　　答曰：六百三十三钱、五分钱之三。
　　
>>> 128*4.95
633.6

[术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实，实如法得钱数。]
13、衰分:今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？
　　答曰：八十四钱、八钱之三。
>>> 125/4*2.7
84.375
　　
[术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。]
14、衰分:今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？
　　答曰：四丈。
>>> 500/(625/5)
4.0　　

[术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实，实如法得缣数。]
15、衰分:今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？
　　答曰：三十二斤八两。
>>> 10/14*45.5
32.5

[术曰：以一斤展十六两为法，以七两乘今有丝两数为实，实如法得耗数。]
16、衰分:今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？
　　答曰：一百六十三两四铢半。

>>> (23+5/16)*7/16*16
163.1875　
>>> 0.1875*24
4.5　

[术曰：置生丝两数，除耗数，馀，以为法。三十斤乘乾丝两数为实。实如法得生丝数。]
17、衰分:今有生丝三十斤，乾之，耗三斤十二两。今有乾丝一十二斤，问生丝几何？
　　答曰：一十三斤一十一两十铢、七分铢之二。

>>> 12/(26.25/30)
13.714285714285714
　　
[术曰：以亩二百四十步为法，以六升、太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。]
18、衰分:今有田一亩，收粟六升、太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？
　　答曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。
>>> (126*240+159)/240*6.667
844.4588875
　　
[术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实，实如法得日数。]
19、衰分:今有取保一岁，价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？
　　答曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。
>>> 1200/(2500/354)
169.92　

[术曰：以月三十日，乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。]
20、衰分:今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？
　　答曰：六钱、四分钱之三。
>>> 750*(30/1000/30)*9
6.75

四：《少广》

[少广:少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。]

[术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。]
1、少广:今有田广一步半。求田一亩，问从几何？
　　答曰：一百六十步。
>>> 240/1.5
160.0　　

[术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。]
2、少广:今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：一百三十步、一十一分步之一十。
　　
>>> 240/(1.5+1/3)
130.9090909090909

[术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。]
3、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：一百一十五步、五分步之一。
　　
>>> 240/(1.5+1/3+1/4)
115.20000000000002

[术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。]
4、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
　　
>>> 240/(1.5+1/3+1/4+1/5)
105.1094890510949

[术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。]
5、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：九十七步、四十九分步之四十七。
　　
>>> 240/(1.5+1/3+1/4+1/5+1/6)
97.9591836734694

[术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。]
6、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
　　
>>>
92又68/121,

a = list(range(1, 8));

for i in range(len(a)):
a[i] = Fraction(1,a[i]);

total = sum(a);

mul = 240;

for i in range(1):
res = mul * (Fraction(1,total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

[术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。]

7、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。

>>>
88又232/761,
　　
[术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步]
8、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
>>>
84又5964/7129, 　

[术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。]
9、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
>>>
81又6939/7381,
　　
[术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。]
10、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
>>>
79又39631/83711,
　　
[术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。]
11、少广:今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？
　　答曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
>>>
77又29183/86021,

a = list(range(1, 13));

for i in range(len(a)):
a[i] = Fraction(1,a[i]);

total = sum(a);

/
[开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。]

12、少广:今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？
　　答曰：二百三十五步。
>>> 55225**.5
235.0

13、少广:又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？
　　答曰：一百五十九步。
>>> 25281**.5
159.0

14、少广:又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？
　　答曰：二百六十八步。
>>> 71824**0.5
268.0

15、少广:又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？
　　答曰：七百五十一步半。
>>> 564752.25**.5
751.5

16、少广:又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
　　答曰：六万三千二十五步。
>>> 3972150625**0.5
63025.0

//
[开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。]
注：这里圆周率取的是3倍，精度过低
17、少广:今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？
　　答曰：一百三十五步。
>>> (3.142*1518.75)**0.5*2
138.1580616540345

18、少广:今有积三百步。问为圆周几何？
　　答曰：六十步。
>>> (3.142*300)**0.5*2
61.40358295734867
　　
//
[开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。]

19、少广:今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
　　答曰：一百二十三尺。
>>> 1860867**(1/3)
122.99999999999997

20、少广:今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？
　　答曰：一十二尺半。
>>> 1953.125**(1/3)
12.499999999999998

21、少广:今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？
　　答曰：三十九尺、八分尺之七。
>>> (63401+447/512)**(1/3)
39.87499999999999

22、少广:又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？
　　答曰：一百二十四尺、太半尺。（太半 = 2/3）
>>> (1937541+17/27)**(1/3)
124.66666666666663

//　
[开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。　]
D = (V * 16 / 9)**(1/3) （精度不够）

V = 3.142/6 *D^3 （由球体积求球直径）

23、少广:今有积四千五百尺。问为立圆径几何？
　　答曰：二十尺。
>>> (4500*6/3.142)**(1/3)
20.482636660047774

24、少广:又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？
　　答曰：一万四千三百尺。
>>> (1644866437500*6/3.142)**(1/3)
14645.085211934153

///

五：《商功》
[术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。
　　城、垣、堤、沟、聢、渠，皆同术。
　　术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。]

V = (a + b)/2*h*L

1、商功:今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？
　　答曰：为坚七千五百尺。为壤一万二千五百尺。
>>> 10000*0.75
7500.0
>>> 10000*1.25
12500.0
　　

2、商功:今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？
　　答曰：一百八十九万七千五百尺。
>>> V = lambda a, b, h, L:(a + b)/2*h*L #直台体积
>>> V(40, 20, 50, 1265);
1897500.0

3、商功:今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？
　　答曰：六千七百七十四尺。
>>> V = lambda a, b, h, L:(a + b)/2*h*L #直台体积
>>> V(3, 2, 12, 225.8);
6774.0

4、商功:今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？
　　答曰：七千一百一十二尺。
　　冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？
　　答曰：一十六人、一百一十一分人之二。
　　术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。
>>> V = lambda a, b, h, L:(a + b)/2*h*L #直台体积
>>> V(20, 8, 4, 127)
7112.0
>>> 7112/444
16.01801801801802

5、商功:今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？
　　答曰：四千三百七十五尺。
　　春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？
　　答曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。
　　术曰：置本人功，去其五分之一，馀为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。
>>> V = lambda a, b, h, L:(a + b)/2*h*L #直台体积
>>> V(15,10,5,70)
4375.0
>>> 766*0.8
612.8000000000001
>>> 4375/612.8
7.139360313315928

6、商功:今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？
　　答曰：一万九百四十三尺八寸。
　　夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？
　　答曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。
　　术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，馀为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

>>> V(16.3, 10, 6.3, 132.1)
10943.824499999999
>>> _/(871*0.8*2/3)
23.558749641216988
>>> _*2
47.117499282433975

8、商功:今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？
　　答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
　　秋程人功三百尺，问用徒几何？
　　答曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。
　　一千人先到，问当受袤几何？
　　答曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。
　　术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。

>>> V(18, 3.6, 18, 51824);
10074585.6
>>> _/300
33581.952

>>> 300*1000/((18+3.6)*18/2)
1543.20987654321

9、商功:今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？
　　答曰：三千八百四十尺。
　　术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
>>> 16**2*15
3840

10、商功:今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？
　　答曰：二千一百一十二尺。
　　术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
>>> 48**2/3.142/4*11
2016.5499681731383

[术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。]
V = (a**2+b**2+a*b)/3*h (棱台体积)

11、商功:今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？
　　答曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。
>>> V_l = lambda a, b, h: (a**2+b**2+a*b)/3*h; #棱台
>>> V_l(50,40,50);
101666.66666666666　

[术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。]
V = 1/3/3.142/4*(C_1**2+C_2**2+C_1*C_2)*h
12、商功:今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？
　　答曰：五百二十七尺、九分尺之七。
>>> V_c = lambda C_1, C_2, h:1/3/3.142/4*(C_1**2+C_2**2+C_1*C_2)*h; #圆台
>>> V_c(30, 20, 10);
503.9253129641417　　

[术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。]
V = 1/3 * a**2*h;
13、商功:今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？
　　答曰：七千四十七尺。
>>> V_fz = lambda a, h:1/3 * a**2*h; #方锥
>>> V_fz(27, 29);
7047.0　　

[术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。]
V = 1/3/3.142/4 * C**2*h;
14、商功:今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？
　　答曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。
>>> V_yz = lambda C, h:1/3/3.142/4 * C**2*h; #圆锥
>>> V_yz(35, 51);
1656.9859961807765　

[术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。] (三棱柱)
15、商功:今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？
　　答曰：四万六千五百尺。
>>> 20*18.6*25/2
4650.0　　

[术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。] (三棱锥）
16、商功:今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？
　　答曰：九十三尺、少半尺。
>>> 5*7*8/3
93.33333333333333
　　
[术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。] （四面体）
17、商功:今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？
　　答曰：二十三尺、少半尺。
>>> 5*4*7/6
23.333333333333332
　　
[术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。]
V = (a + b + c)*h_1 * h_2 / 6
18、商功:今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？
　　答曰：八十四尺。
>>> (6+10+8)*7*3/6
84.0　

[术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。
　　刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。
　　术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。]

#（2倍底边长+上棱长）×底边宽×高÷6
V = (2*a1 +a2) * b1 * h /6

19、商功:今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？
　　答曰：五千尺。
>>> V = lambda a1, b1, a2, b2, h:(2*a1 +a2) * b1 * h /6;
>>> V(40,30, 20, 0, 10);
5000.0
　　

20、商功:今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？
　　答曰：二万六千五百尺。
>>> V = lambda a1, b1, a2, b2, h:(2*a1 +a2) * b1 * h /6;
>>> V(20,30,30,40,30)+V(30,40,20,30,30);
26500.0

21、商功:今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？
　　答曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。
>>> V = lambda a1, b1, a2, b2, h:(2*a1 +a2) * b1 * h /6;
>>> V(30, 10, 19, 5, 10)+V(19, 5,30, 10, 10)
1883.3333333333335

22、商功:今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？
　　答曰：七万六百六十六尺、太半尺。
　　负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？
　　答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。
　　术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
>>> V = lambda a1, b1, a2, b2, h:(2*a1 +a2) * b1 * h /6;
>>> V(60, 80, 40,60,20)+V(40,60,60,80,20);
70666.66666666666
>>> 50+50+10+30
140 #一个来回折合行路步数
>>> 59.5*300/140*1.6
204.0 #每人每天土方量
>>> 70666.66666666666/204
346.40522875816987

23、商功:今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？
　　答曰：五万二千尺。
　　载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？
　　答曰：人到二百一尺、五十分尺之十三。用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。
　　[术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。]
>>> V = lambda a1, b1, a2, b2, h:(2*a1 +a2) * b1 * h /6;
>>> V(20,70, 8,40,65)+V(8,40,20,70,65);
52000.0
>>> 58*300/(200+300)*34.7/6
201.26 #人均完成量
>>> 52000/_
258.3722547947928

[委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。
　　程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、答、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。]

24、商功:今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？
　　答曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。
>>> 120**2/3.142/4/3*20
7638.446849140674 #圆锥体
>>> _/2.7
2829.0543885706197

25、商功:今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？
　　答曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。
>>> 30**2/3.142/4/3*2*7
334.1820496499045
>>> _/2.43
137.52347722218292
>>> 30**2/3/4/3*2*7
350.0
>>> _/2.43
144.03292181069958

26、商功:今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？
　　答曰：积三十五尺、九分尺之五。为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。
>>> 8**2/3.142/4/3*4*5
33.94865266284745
>>> _/1.62
20.95595843385645
>>> 1.62/2.7
0.6 #小米更占体积，比重只有米的0.6倍

27、商功:今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？
　　答曰：三尺、五分尺之三。
　　术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，馀即下广。

((16*6)+(x*16)+(x*16*16*6)**0.5)/3*10-576=0 => x = 3.085

9.52234775871075 -11.971837501493928
3.0858301571393634 (2.1186599779874785e-16+3.4600343208549145j)

a = 16;
b = (16*16*6)**0.5;
c = (16*6)-576*10/3;

delta = (b**2-4*a*c)**0.5;
res1 = -b/2/a+delta/2/a;
res2 = -b/2/a-delta/2/a;

print(res1, res2);
print(res1**0.5, res2**0.5);

28、商功:今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？
　　答曰：二丈。
　　术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。
>>> 10000*2.7/30/45
20.0 #尺

29、商功:今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问周几何？
　　答曰：五丈四尺。
　　术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。
x^2/12 * 13.333 = 2000*1.62　　=> x =
　　
>>> (2000*1.62/13.333*12)**0.5
54.000675012656515

六：《均输》
[均输术曰：令县户数，各如其本行道日数而一，以为衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟、车数乘未并者，各自为实。实如法得一车。有分者，上下辈之。以二十五斛乘车数，即粟数。]

1、均输:今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近，户数多少，衰出之。问粟、车各几何？
　　答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。

>>>
甲, 3324又22/47, 83111又33/47, 乙, 2526又28/47, 63164又42/47, 丙, 2526又28/47, 63164又42/47, 丁, 1622又16/47, 40558又24/47,

label = ['甲', '乙', '丙', '丁'];

a = [10000, 9500, 12350, 12200];
b = [8, 10, 13, 20];

c = [0] * len(a)

for i in range(len(a)):
c[i] = Fraction(a[i], b[i]);


total = sum(c);

mul = 10000;
mul2 = 250000;

for i in range(len(c)):
res = mul * (Fraction(c[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
print(label[i], end = ', ');
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

res = mul2 * (Fraction(c[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

2、均输:今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县，赋输卒一月一千二百人。欲以远近、户率，多少衰出之。问县各几何？
　　答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。
　　术曰：令县卒，各如其居所及行道日数而一，以为衰。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各自为实。实如法而一。有分者，上下辈之。

>>>
甲, 228又4/7, 乙, 285又5/7, 丙, 228又4/7, 丁, 171又3/7, 戊, 285又5/7,

label = ['甲', '乙', '丙', '丁','戊'];

a = [1200, 1550, 1280, 990, 1750];
b = [4, 5, 4, 3, 5];

c = [0] * len(a)

for i in range(len(a)):
c[i] = b[i];


total = sum(c);

mul = 1200;

for i in range(len(c)):
res = mul * (Fraction(c[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
print(label[i], end = ', ');
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

3、均输:今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋，输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户输粟，令费劳等。问县各粟几何？
　　答曰：甲县三千五百七十一斛、二千八百七十三分斛之五百一十七。乙县二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。
　　术曰：以一里僦价，乘至输所里，以一车二十五斛除之，加一斛粟价，则致一斛之费。各以约其户数，为衰。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。

>>>
[Fraction(1026, 1), Fraction(684, 1), Fraction(399, 1), Fraction(494, 1), Fraction(270, 1)]
甲, 3571又517/2873, 乙, 2380又2260/2873, 丙, 1388又2276/2873, 丁, 1719又101/221, 戊, 939又2253/2873,

label = ['甲', '乙', '丙', '丁','戊'];

a = [20520, 12312, 7182, 13338, 5130]; #户数
b = [20, 10+200/25, 12+150/25, 17+250/25, 13+150/25]; #单位粟价

c = [0] * len(a)

for i in range(len(a)):
c[i] = Fraction(a[i],int(b[i]));

print(c);

total = sum(c);

mul = 10000;

for i in range(len(c)):
res = mul * (Fraction(c[i],total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
print(label[i], end = ', ');
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

4、均输:今有均赋粟，甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等。问县各粟几何？
　　答曰：甲县一万八千九百四十七斛、一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛、一百三十三分斛之九。丙县七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。丁县六千七百六十六斛、一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛、一百三十三分斛之七十四。己县七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。
　　术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重以乘道里，各自为实，实如法得一日。加载输各一日，而以六人乘之，又以佣价乘之，以二十五斛除之，加一斛粟价，即致一斛之费。各以约其算数为衰，副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。

>>>
[2100.0, 1200.0, 800.0, 750.0, 1000.0, 799.9999999999999]
甲, 18947又7/19, 乙, 10827又9/133, 丙, 7218又6/133, 丁, 6766又122/133, 戊, 9022又74/133, 己, 7209又3/133,

label = ['甲', '乙', '丙', '丁','戊', '己'];

a = [42000, 34272, 19328, 17700, 23040, 19136]; #户数
b = [20, 18+60*(1+1.4+2)/25, 16+30*(2+2.8+2)/25, 14+30*(175/70+175/50+2)/25, \
12+30*(210/70+210/50+2)/25, 10+30*(280/70+280/50+2)/25]; #单位粟价

c = [0] * len(a)

for i in range(len(a)):
c[i] = a[i]/b[i];

print(c);

total = int(sum(c));

mul = 60000;

for i in range(len(c)):
res = mul * (Fraction(int(c[i]),total));
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
print(label[i], end = ', ');
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

5、均输:今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为稗米，一人为凿米，令米数等。问取粟为米各几何？
　　答曰：粝米取粟二斗、一百二十一分斗之一十。稗米取粟二斗、一百二十一分斗之三十八。凿米取粟二斗、一百二十一分斗之七十三。为米各一斗、六百五分斗之一百五十一。
　　术曰：列置粝米三十，稗米二十七，凿米二十四，而反衰之，副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。

>>>
[Fraction(1, 30), Fraction(1, 27), Fraction(1, 24)]
甲, 2又10/121, 乙, 2又38/121, 丙, 2又73/121,
>>> (2+10/121)*30/50
1.2495867768595041

label = ['甲', '乙', '丙', '丁','戊', '己'];

a = [30, 27, 24]; #户数
b = []; #单位粟价

c = [0] * len(a)

for i in range(len(a)):
c[i] = Fraction(1, a[i]);

print(c);

total = sum(c);

mul = 7;

for i in range(len(c)):
res = mul * (c[i]/total);
numer = res.numerator;
denom = res.denominator;
real = numer//denom;
print(label[i], end = ', ');
if (real != 0):
numer = numer - real * denom;
print(str(real)+'又'+str(Fraction(numer,denom)), end = ', ');
else:
print(Fraction(numer,denom),end = ', ');

6、均输:今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？
　　答曰：米五斗一升、七分升之三。菽一斛二升、七分升之六。
　　术曰：置米一、菽二求为粟之数。并之得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。
>>> Fraction(5,3)+2*Fraction(50,45)
Fraction(35, 9)
>>> 20/Fraction(35, 9)
Fraction(36, 7) (5又1/7, 10又2/7)

7、均输:今有取佣负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升、少半升，行八十里。问与钱几何？
　　答曰：二十七钱、十五分钱之十一。
　　术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。

>>> 40/(20*100)*(17.3+1/30)*80
27.733333333333338
>>> 27+11/15
27.733333333333334

8、均输:今有负笼重一石一十七斤，行七十六步，五十返。今负笼重一石，行百步，问返几何？
　　答曰：四十三返、六十分返之二十三。
　　术曰：以今所行步数乘今笼重斤数为法，故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。
>>> 137*76*50/120/100
43.38333333333333
>>> 43+23/60
43.38333333333333

9、均输:今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返。问太仓去上林几何？
　　答曰：四十八里、十八分里之十一。
　　术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。
>>> 1/(1/70+1/50)
29.166666666666664
>>> _*2
58.33333333333333
>>> _*5/3
97.22222222222221
>>> _/2
48.61111111111111
>>> 48+11/18
48.611111111111114

10、均输:今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤十二铢。今有青丝一斤，问本络丝几何？
　　答曰：一斤四两一十六铢、三十三分铢之十六。
　　术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘之，为实。实如法得一斤。

>>>
1 斤 4 两 16 铢 0.48484848484852705

def weight(w, t = '斤'):
from math import floor;
part_jin = floor(w);
w -= part_jin;
w *= 16;
part_liang = floor(w);
w -= part_liang;
w *= 24;
part_zhu = floor(w);
part_yushu = w - part_zhu;
print(part_jin,'斤',part_liang, '两', part_zhu, '铢', part_yushu);

11、均输:今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求稗米十斗，问恶粟几何？
　　答曰：二十四斗六升、八十一分升之七十四。
　　术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置稗米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。

>>> 10/(9*27/30)*20
24.69135802469136
>>> 24.6+74/810
24.69135802469136

12、均输:今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？
　　答曰：二百五十步。
　　术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，馀四十步，以为法。以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。

>>> 100/40*100
250.0

13、均输:今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？
　　答曰：三十三里、少半里。
　　术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里，乘善行者一百里，为实。实如法得一里。
>>> 10/(100-70)*100
33.33333333333333

14、均输:今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？
　　答曰：一百七步、七分步之一。
　　术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，馀为法。以不及三十步乘犬追步数为实，实如法得一步。
>>> 100/(250-180)*250-250
107.14285714285717

15、均输:今有人持金十二斤出关。关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。问金一斤值钱几何？
　　答曰：六千二百五十。
　　术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，馀为法。以一十乘五千为实。实如法得一钱。
>>> 5000/0.8
6250.0
#计算得1金 = 62.5 钱

16、均输:今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？
　　答曰：七百八十里。
　　术曰：置四分日之三，除三分日之一，半其馀以为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。

>>>
[ 780.]

def tmp2():
import datastruct.alg as alg;

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [-(0.75-1/3)/2, 100 + (0.75-1/3)/2*300];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

17、均输:今有金棰，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？
　　答曰：末一尺，重二斤。次一尺，重二斤八两。次一尺，重三斤。次一尺，重三斤八两。次一尺，重四斤。
　　术曰：令末重减本重，馀即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置，以差率减之，每尺各自为衰。副置下第一衰以为法，以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。

>>> [2, 2.8, 3, 3.8, 4]
[2, 2.8, 3, 3.8, 4] #锤子构造未知

18、均输:今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何？
　　答曰：甲得一钱、六分钱之二，乙得一钱、六分钱之一，丙得一钱，丁得六分钱之五，戊得六分钱之四。
　　术曰：置钱锥行衰，并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。

>>> [1.33, 1.16, 1, 0.84, 0.67]
[1.33, 1.16, 1, 0.84, 0.67]

19、均输:今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容各多少？
　　答曰：下初，一升、六十六分升之二十九，次一升、六十六分升之二十二，次一升、六十六分升之一十五，次一升、六十六分升之八，次一升、六十六分升之一，次六十六分升之六十，次六十六分升之五十三，次六十六分升之四十六，次六十六分升之三十九。
　　术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。上下率以少减多，馀为实。置四节、三节，各半之，以减九节，馀为法。实如法得一升，即衰相去也。下率，一升、少半升者，下第二节容也。

3*x + 3 * d - 4 = 0; [12, 12, -16]
4*x + 26 * d - 3 = 0; [12, 78, -9]
=> d = Fraction(-7, 66)

from fractions import Fraction;

x0 = Fraction(95, 66);
d = Fraction(-7, 66)

res = [];

for i in range(9):
res.append(x0 + i*d);
print(x0 + i*d, end = ', ');

print('\n');
print(sum(res[:3]));
print(sum(res[-4:]));

>>>
95/66, 4/3, 27/22, 37/33, 67/66, 10/11, 53/66, 23/33, 13/22,

4
3

20、均输:今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起。问何日相逢？
　　答曰：三日、十六分日之十五。
　　术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。

>>> 1/(Fraction(1, 7)+Fraction(1, 9));
Fraction(63, 16)

21、均输:今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？
　　答曰：二日、十二分日之一。
　　术曰：并五日、七日以为法。以乙先发二日减七日，馀，以乘甲日数为实。实如法得一日。

>>>
2又1/12,

def frac(frac):
#假分数转真分数
num = frac.numerator;
dem = frac.denominator;

if num > dem:
big = num//dem;
num -= big*dem;
print(str(big)+'又'+str(Fraction(num,dem)), end = ', ');
else:
print(frac,end = ', ');

def tmp():
from fractions import Fraction;

a = 5;
b = 7;

a_ = Fraction(1, a);
b_ = Fraction(1, b);

res = (1-b_*2)/(a_+b_);
frac(res);

22、均输:今有一人一日为牡瓦三十八枚，一人一日为牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？
　　答曰：二十五枚、少半枚。
　　术曰：并牝、牡为法，牝牡相乘为实，实如法得一枚。

>>>
25又1/3,

from fractions import Fraction;

a = 38;
b = 76;

a_ = Fraction(1, a);
b_ = Fraction(1, b);

res = 1/(a_+b_);
frac(res);

23、均输:今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五。今令一人一日自矫、羽、筈，问成矢几何？
　　答曰：八矢、少半矢。
　　术曰：矫矢五十，用徒一人。羽矢五十，用徒一人、太半人。筈矢五十，用徒三人、少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。

>>>
8又1/3,

from fractions import Fraction;

a = 50;
b = 30;
c = 15;

a_ = Fraction(1, a);
b_ = Fraction(1, b);
c_ = Fraction(1, c);

res = 1/(a_+b_+c_);
frac(res);

24、均输:今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百，问田几何？
　　答曰：一顷二十七亩、四十七分亩之三十一。
　　术曰：置亩数及钱数，令亩数互乘钱数，并以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩。

>>>
127又31/47,

from fractions import Fraction;

a = 3;
b = 4;
c = 5;

a_ = Fraction(1, a);
b_ = Fraction(1, b);
c_ = Fraction(1, c);

res = Fraction(100, 3)*3/(a_+b_+c_);
frac(res);

25、均输:今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？
　　答曰：一亩一百一十四步、七十一分步之六十六。
　　术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩。

1又34/71,
>>>
354又66/71,

from fractions import Fraction;

a = 7;
b = 3;
c = 5;

a_ = Fraction(1, a);
b_ = Fraction(1, b);
c_ = Fraction(1, c);

res = 240*1/(a_+b_+c_);
frac(res);

26、均输:今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问几何日满池？
　　答曰：七十四分日之十五。
　　术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。以一日为实。实如法得一日。其一术，列置日数及满数，今日互相乘满，并以为法，日数相乘为实，实如法得一日。

>>>
15/74,

from fractions import Fraction;

a = [Fraction(1, 3), 1, Fraction(2.5), 3, 5];

a_ = [];

for i in range(len(a)):
a_.append(Fraction(1, a[i]));

res = 1/(sum(a_));
frac(res);

27、均输:今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，馀米五斗。问本持米几何？
　　答曰：十斗九升、八分升之三。
　　术曰：置米五斗。以所税者三之，五之，七之，为实。以馀不税者二、四、六相乘为法。实如法得一斗。

>>> 5/(2/3*4/5*6/7)
10.937499999999998

28、均输:今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？
　　答曰：一斤三两四铢、五分铢之四。
　　术曰：置一斤，通所税者以乘之为实。亦通其不税者以减所通，馀为法。实如法得一斤。

>>>
[Fraction(1, 2), Fraction(1, 6), Fraction(1, 12), Fraction(1, 20), Fraction(1, 30)]
5/6, #一共被收去5/6，因此总共1.2斤
>>>
5/6, 1 斤 3 两 4 铢 0.799999999999983
from fractions import Fraction;

a = [Fraction(1, 2), Fraction(1, 3), Fraction(1, 4), Fraction(1, 5), Fraction(1, 6)];

a_ = [];

for i in range(len(a)):
if (i == 0):
a_.append(a[i]);
else:
a_.append((1-sum(a_))*a[i]);

print(a_);

res = sum(a_);
frac(res);

七：《盈不足》

1、盈不足:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
　　答曰：七人，物价五十三。

8x-3 = 7x+4 => x = 7

>>>
x: 7 y: 53

from fractions import Fraction;
a = [[8, -1, -3], [7, -1, 4]]; #两个方程的系数

D_1 = a[0][0];
D_2 = a[1][0];
E_1 = a[0][1];
E_2 = a[1][1];
F_1 = a[0][2];
F_2 = a[1][2];

Y = -Fraction(F_1*D_2-F_2*D_1)/Fraction(E_1*D_2-E_2*D_1);
X = -Fraction(E_1*Y+F_1)/Fraction(D_1);

print('x:', X, 'y:', Y);

2、盈不足:今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
　　答曰：九人，鸡价七十。

9x-y-11 = 0;
6x-y+16 = 0;

>>>
x: 9 y: 70

from fractions import Fraction;
a = [[9, -1, -11], [6, -1, 16]]; #两个方程的系数

D_1 = a[0][0];
D_2 = a[1][0];
E_1 = a[0][1];
E_2 = a[1][1];
F_1 = a[0][2];
F_2 = a[1][2];

Y = -Fraction(F_1*D_2-F_2*D_1)/Fraction(E_1*D_2-E_2*D_1);
X = -Fraction(E_1*Y+F_1)/Fraction(D_1);

print('x:', X, 'y:', Y);

3、盈不足:今有共买璡，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、璡价各几何？
　　答曰：四十二人，璡价十七。

x: 42 y: 17

from fractions import Fraction;
a = [['1/2', -1, -4], ['1/3', -1, 3]]; #两个方程的系数

D_1 = Fraction(a[0][0]);
D_2 = Fraction(a[1][0]);
E_1 = Fraction(a[0][1]);
E_2 = Fraction(a[1][1]);
F_1 = Fraction(a[0][2]);
F_2 = Fraction(a[1][2]);

Y = -(F_1*D_2-F_2*D_1)/(E_1*D_2-E_2*D_1);
X = -(E_1*Y+F_1)/(D_1);

print('x:', X, 'y:', Y);

4、盈不足:今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？
　　答曰：一百二十六家，牛价三千七百五十。
　　盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，馀，以约法、实。实为物价，法为人数。
　　其一术曰：并盈不足为实。以所出率以少减多，馀为法。实如法得一人。以所出率乘之，减盈、增不足即物价。

>>>
x: 126 y: 3750

from fractions import Fraction;
a = [['190/7', -1, 330], ['270/9', -1, -30]]; #两个方程的系数

print('x:', X, 'y:', Y);

5、盈不足:今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
　　答曰：三十三人。金价九千八百。
>>>
x: 33 y: 9800

from fractions import Fraction;
a = [[400, -1, -3400], [300, -1, -100]]; #两个方程的系数

print('x:', X, 'y:', Y);

6、盈不足:今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？
　　答曰：二十一人，羊价一百五十。
　　两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，馀为实。两盈、两不足以少减多，馀为法。实如法而一。有分者通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，馀，以约法实，实为物价，法为人数。
　　其一术曰：置所出率，以少减多，馀为法。两盈、两不足，以少减多，馀为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。

>>>
x: 21 y: 150

from fractions import Fraction;
a = [[5, -1, 45], [7, -1, 3]]; #两个方程的系数

print('x:', X, 'y:', Y);

7、盈不足:今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？
　　答曰：一十人，豕价九百。
>>>
x: 10 y: 900

from fractions import Fraction;
a = [[100, -1, -100], [90, -1, 0]]; #两个方程的系数

print('x:', X, 'y:', Y);

8、盈不足:今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？
　　答曰：二人，犬价一百。
　　盈、适足，不足、适足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，馀为法。实如法得一人。其求物价者，以适足乘人数得物价。

>>>
x: 2 y: 100

from fractions import Fraction;
a = [[5, -1, 90], [50, -1, 0]]; #两个方程的系数

9、盈不足:今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？
　　答曰：二斗五升。
　　术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有馀二升。

>>> 10-3/0.4
2.5

10、盈不足:今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
　　答曰：五日、十七分日之五。瓜长三尺七寸、十七分寸之一，瓠长五尺二寸、十七分寸之十六。
　　术曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有馀一尺二寸。

>>> 9/Fraction('1.7');
Fraction(90, 17)
>>>
5又5/17,

11、盈不足:今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？
　　答曰：二日、十三分日之六。各长四尺八寸、十三分寸之六。
　　术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有馀一尺七寸半。

3*((0.5)^[x] -1)/(0.5-1) = 1*(2^[x]-1)/(2-1) #等比数列和

>>>
2.585 (迭代解)
>>> 2+6/13
2.4615384615384617

for i in range(1, 10000):
if (3*(1-(0.5)**(i*0.001))*2) < 2**(i*0.001)-1:
print(i*0.001);
break;

12、盈不足:今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？
　　答曰：二日、十七分日之二。大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。
　　术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有馀三尺七寸半。

2.154
甲 3.450600482339336 乙 1.5506224366944852
>>> 2+2/17
2.1176470588235294
>>> 3.4+12/170
3.4705882352941178
>>> 1.5+5/170
1.5294117647058822

a0 = 1;
a1 = 1;

q0 = 2;
q1 = 0.5;

for i in range(1, 10000):
s1 = a0*(q0**(i*0.001)-1)/(q0-1);
s2 = a1*(q1**(i*0.001)-1)/(q1-1);
if (a0*((q0)**(i*0.001)-1)/(q0-1)) + a1*(q1**(i*0.001)-1)/(q1-1) > 5:
print(i*0.001);
break;

print('甲', s1, '乙', s2);

13、盈不足:今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问醇、行酒各得几何？
　　答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。
　　术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有馀一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。

50x+10y-30=0;
x+y-2=0;

>>>
x: 1/4 y: 7/4 #单位：斗

from fractions import Fraction;

a = [[50, 10, -30], [1, 1, -2]]; #两个方程的系数

print('x:', X, 'y:', Y);

14、盈不足:今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？
　　答曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七。
　　术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。
>>>
x:, 13/24, y:, 7/24,

from fractions import Fraction;

a = [[5, 1, -3], [1, 5, -2]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

15、盈不足:今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和馀漆。问出漆、得油、和漆各几何？
　　答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。
　　术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有馀二升。

>>> 90/8
11.25 #出漆
>>> _*1.33
14.9625 #得油
>>> 150/8
18.75 #和漆

17、盈不足:今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？
　　答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，重四斤十四两。
　　术曰：假令皆玉，多十三两。令之皆石，不足十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉石之积重。

>>>
x:, 14又0, y:, 13又0,

from fractions import Fraction;

a = [[7, 6, -11*16], [1, 1, -27]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

18、盈不足:今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？
　　答曰：善田一十二亩半，恶田八十七亩半。
　　术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。

>>>
x:, 12又1/2, y:, 87又1/2,

from fractions import Fraction;

a = [[300, '500/7', -10000], [1, 1, -100]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

19、盈不足:今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
　　答曰：金重二斤三两一十八铢，银重一斤十三两六铢。
　　术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。

>>>
x:, 35又3/4, y:, 29又1/4,
2 斤 3 两 18 铢 0.0
1 斤 13 两 6 铢 0.0

from fractions import Fraction;

a = [[9, -11, 0], [7, -9, 13]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

weight(35.75/16);
weight(29.25/16);

20、盈不足:今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？
　　答曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。
　　术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。

>>>
[-61.90710529088942, 15.507105290889422] #选后一个根
>>> (193+13*d/2)*d
4555.928365409409
>>> (97-0.5*d/2)*d
1444.0716345905914

import datastruct.alg as alg;

#(193+13*d/2)*d + (97-0.5*d/2)*d = 3000*2 #一元二次方程组

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [13/2-0.5/2, \
193+97,\
-3000*2];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

21、盈不足:今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？
　　答曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
　　术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。

(((((x*1.13)-14000)*1.13-13000)*1.13-12000)*1.13-11000)*1.13-10000 = 0 #边赚边返模式
　　
>>>
[10000, 11000, 12000, 13000, 14000]
43060.99472663279 #边赚边返模式本金
---
14000 34658.924041095044
13000 26164.584166437395
12000 17565.980108074255
11000 8849.557522123905
10000 1.0913936421275139e-11

a = [];

for i in range(5):
a.append(10000+1000*i);

print(a);

sum_ = 0;
for i in range(len(a)):
sum_ += a[i]*1.13**i;

print(sum_/1.13**5);

print('---');

b = 43060.99472663279;
for i in range(5):
b = b*1.13;
b -= a[4-i];
print(a[4-i], b);

八：《方程》
[　　方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。馀如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。馀如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。]

1、方程:今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

3x+2y+z-39 = 0;
2x+3y+z-34 = 0;
x+2y+3z-26 = 0;

>>>
x:, 9又1/4, y:, 4又1/4, Z:, 2又3/4,

a = [[3, 2, 1, -39], [2, 3, 1, -34], [1, 2, 3, -26]]; #三元一次方程的系数 D,E,F,G

a1 = D_1 = Fraction(a[0][0]);
a2 = D_2 = Fraction(a[1][0]);
a3 = D_3 = Fraction(a[2][0]);
b1 = E_1 = Fraction(a[0][1]);
b2 = E_2 = Fraction(a[1][1]);
b3 = E_3 = Fraction(a[2][1]);
c1 = F_1 = Fraction(a[0][2]);
c2 = F_2 = Fraction(a[1][2]);
c3 = F_3 = Fraction(a[2][2]);
d1 = G_1 = Fraction(a[0][3]);
d2 = G_2 = Fraction(a[1][3]);
d3 = G_3 = Fraction(a[2][3]);

d1 = -d1;
d2 = -d2;
d3 = -d3;

# ((c1-b1/b2*c2)/(c2-b2/b3*c3))*(d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)*x) = d1-b1/b2*d2-(a1-b1/b2*a2)*x ⑾
#A_1*A_2 - A_1*A_3*x = A_4 - A_5*x

A_1 = (c1-b1/b2*c2)/(c2-b2/b3*c3);
A_2 = d2-b2/b3*d3;
A_3 = (a2-b2/b3*a3);
A_4 = d1-b1/b2*d2;
A_5 = (a1-b1/b2*a2);

X = (A_1*A_2-A_4)/(A_1*A_3-A_5);

#(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x ⑩
Z = (d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)*X)/(c2-b2/b3*c3);

Y = -(a1*X+c1*Z-d1)/b1;

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);
print('Z:', end = ', ');
frac(Z);

2、方程:今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。
　　术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。

>>>
x:, 1又9/26, y:, 41/52,

a = [[7, 2, -1-10], [2, 8, 1-10]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

3、方程:今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉实二十五分斗之九，中禾一秉实二十五分斗之七，下禾一秉实二十五分斗之四。
　　术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
　　正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

x < 1/2, y < 1/3, z < 1/4
2x + y = 1, 3y + z = 1, 4z + x = 1

x + y + z < 13/12
>>> Fraction('1/2')+Fraction('1/3')+Fraction('1/4');
Fraction(13, 12)

>>>
x:, 9/25, y:, 7/25,

a = [[2, 1, -1], [-1, 12, -3]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

4、方程:今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉五升，下禾一秉二升。
　　术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。

>>>
x:, 1/2, y:, 1/5, #单位：斗

a = [[5, -7, '-1.1'], [7, -5, '-2.5']]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

5、方程:今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉实八升，下禾一秉实三升。
　　术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。

>>>
x:, 8又0, y:, 3又0,

a = [[6, -10, -18], [-5, 15, -5]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

6、方程:今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？
　　答曰：上禾一秉实八斗，下禾一秉实三斗。
　　术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。

>>>
x:, 8又0, y:, 3又0,

a = [[3, -10, 6], [-2, 5, 1]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

7、方程:今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？
　　答曰：牛一，直金一两、二十一分两之一十三，羊一，直金二十一分两之二十。
　　术曰：如方程。
>>>
x:, 1又13/21, y:, 20/21,

a = [[5, 2, -10], [2, 5, -8]]; #两个方程的系数

8、方程:今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有馀钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？
　　答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。
　　术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，馀钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。

>>>
x:, 1200又0, y:, 500又0, Z:, 300又0,

a = [[-2, -5, 13, 1000],[-3, 9, -3, 0], [5, -6, -8, -600]]; #三元一次方程的系数 D,E,F,G

d1 = -d1;
d2 = -d2;
d3 = -d3;

X = (A_1*A_2-A_4)/(A_1*A_3-A_5);

#(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x ⑩
Z = (d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)*X)/(c2-b2/b3*c3);

Y = -(a1*X+c1*Z-d1)/b1;

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);
print('Z:', end = ', ');
frac(Z);

9、方程:今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？
　　答曰：雀重一两、一十九分两之十三，燕重一两、一十九分两之五。
　　术曰：如方程，交易质之，各重八两。

>>>
x:, 1又13/19, y:, 1又5/19,

a = [[5, 6, -16], [3, -4, 0]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

10、方程:今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？
　　答曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。
　　术曰：如方程，损益之。

>>>
x:, 37又1/2, y:, 25又0,

a = [[1, '0.5', -50], ['2/3', 1, -50]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

11、方程:今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？
　　答曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。
　　术曰：如方程，损益之。

>>>
x:, 5454又6/11, y:, 1818又2/11,

a = [['1.5', 1, -10000], [1, '2.5', -10000]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

2x + y = 10000 + 0.5x;
x + 2y = 10000 - 0.5y;

12、方程:今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？
　　答曰：武马一匹力引二十二石、七分石之六，中马一匹力引十七石、七分石之一，下马一匹力引五石、七分石之五。
　　术曰：如方程各置所借，以正负术入之。

x + y = 40;
2y + z = 40;
3z + x = 40;

>>>
x:, 22又6/7, y:, 17又1/7, z:, 5又5/7

a = [[1, -6, 80], [1, 1, -40]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

13、方程:今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？
　　答曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。
　　术曰：如方程，以正负术入之。

2x + y = 3y + z = 4z + a = 5a + b = 6b + x = A;

14、方程:今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？
　　答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三，青禾一步实一百一十一分斗之二十八，黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
　　术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。

>>>
[ 2.97297297 2.52252252 1.53153153 0.9009009 ]

>>> 33/111
0.2972972972972973
>>> 28/111
0.25225225225225223
>>> 17/111
0.15315315315315314
>>> 10/111
0.09009009009009009

a = np.array([[2, 1, 1, 0], [0, 3, 1, 1], [1, 0, 4, 1], [1,1, 0,5]]);
b = np.array([10, 10, 10, 10]);
x = np.linalg.solve(a, b);
print(x);

15、方程:今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？
　　答曰：甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，丙禾一秉重二十三分石之十。
　　术曰：如方程，置重过于石之物为负。以正负术入之。

2x - y = 1;
3y - z = 1;
4z - x = 1;

>>>
[ 0.73913043 0.47826087 0.43478261]

>>> 17/23
0.7391304347826086
>>> 11/23
0.4782608695652174
>>> 10/23
0.43478260869565216

16、方程:今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？
　　答曰：令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
　　术曰：如方程，以正负术入之。

>>>
x:, 45/122, y:, 41/122, Z:, 97/122,

a = [[1, 5, 10, -10],[10, 1, 5, -8], [5, 10, 1, -6]]; #三元一次方程的系数 D,E,F,G

d1 = -d1;
d2 = -d2;
d3 = -d3;

X = (A_1*A_2-A_4)/(A_1*A_3-A_5);

#(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x ⑩
Z = (d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)*X)/(c2-b2/b3*c3);

Y = -(a1*X+c1*Z-d1)/b1;

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);
print('Z:', end = ', ');
frac(Z);

17、方程:今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？
　　答曰：羊价一百七十七，犬价一百二十一，鸡价二十三，兔价二十九。
　　术曰：如方程，以正负术入之。

>>>
[ 177. 121. 23. 29.]

a = np.array([[5, 4, 3, 2], [4,2, 6,3], [3, 1, 7, 5],[2, 3, 5, 1]]);
b = np.array([1496, 1175, 958, 861]);
x = np.linalg.solve(a, b);
print(x);

18、方程:今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、答六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？
　　答曰：麻一斗七钱，麦一斗四钱，菽一斗三钱，答一斗五钱，黍一斗六钱。
　　术曰：如方程，以正负术入之。

>>>
[ 7. 4. 3. 5. 6.]

a = np.array([[9, 7, 3, 2, 5], [7,6,4,5,3], [3,5,7,6,4],[2, 5, 3, 9, 4],[1,3,2,8,5]]);
b = np.array([140, 128, 116 ,112, 95]);
x = np.linalg.solve(a, b);
print(x);

def FangCheng(): #方程
choose = 4;

if (choose == 1):
import datastruct.alg as alg;

#(193+13*d/2)*d + (97-0.5d/2)*d = 3000*2

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [13/2-0.5/2, \
193+97,\
-3000*2];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

if (choose == 2):

a = [[1, -6, 80], [1, 1, -40]]; #两个方程的系数

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);

if (choose == 3):

a = [[1, 5, 10, -10],[10, 1, 5, -8], [5, 10, 1, -6]]; #三元一次方程的系数 D,E,F,G

d1 = -d1;
d2 = -d2;
d3 = -d3;

X = (A_1*A_2-A_4)/(A_1*A_3-A_5);

#(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x ⑩
Z = (d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)*X)/(c2-b2/b3*c3);

Y = -(a1*X+c1*Z-d1)/b1;

print('x:',end =', ');
frac(X)
print('y:', end = ', ');
frac(Y);
print('Z:', end = ', ');
frac(Z);

if (choose == 4):

a = np.array([[9, 7, 3, 2, 5], [7,6,4,5,3], [3,5,7,6,4],[2, 5, 3, 9, 4],[1,3,2,8,5]]);
b = np.array([140, 128, 116 ,112, 95]);
x = np.linalg.solve(a, b);
print(x);

九：《勾股》

[勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。
　　又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾。
　　又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股。]

1、勾股:今有勾三尺，股四尺，问为弦几何？
　　答曰：五尺。

>>>
5.0

def gougu(a, b, t = 1):
if (t == 1):
print((a**2+b**2)**0.5);
else:
print((a**2-b**2)**0.5);

2、勾股:今有弦五尺，勾三尺，问为股几何？
　　答曰：四尺。

>>>
4.0

3、勾股:今有股四尺，弦五尺，问为勾几何？
　　答曰：三尺。

>>>
3.0

4、勾股:今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几何？
　　答曰：二尺四寸。
　　术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其馀开方除之，即广。

#这个问题的意思是要扛着具有厚度的方板从圆孔中通过，钢板最大的边长
>>> 25**2-7
618
>>> _**0.5
24.859605789312106

>>> (25**2-3.5**2)**0.5
24.753787588973125

5、勾股:今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？
　　答曰：二丈九尺。
　　术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之长。

>>>
29.0

gougu(20,7*3);

6、勾股:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？
　　答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
　　术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，馀，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。

5**2 + x ** 2 = (x+1)**2 => 2x = 24 -> x=12

7、勾股:今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？
　　答曰：一丈二尺、六分尺之一。
　　术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长。

#立柱高
(x+3)**2 = x**2 + 8**2 => 6x+9=64

>>> 55/6
9.166666666666666
>>> _+3
12.166666666666666

8、勾股:今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木几何？
　　答曰：五丈五寸。
　　术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺数而半之，即木长数。

#木长为x
(x-1)**2+10**2 = x**2 =>2x=101 x = 50.5 （单位：尺）

9、勾股:今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。问径几何？
　　答曰：材径二尺六寸。
　　术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。

#半径长为R
R**2 = (R-0.1)**2 + (0.5)**2 =>0.26 = 0.2R => R = 1.3 （单位：尺）
>>> 0.26/0.2
1.3
>>> _*2
2.6

10、勾股:今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？
　　答曰：一丈一寸。
　　术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得门广。

#这个门是双扇门,半扇长度为x
x**2 = (x-0.1)**2 + 1**2 => 0.2x = 1.01 => x = 5.05 （单位：尺）

>>> 1.01/0.2
5.05
>>> _*2
10.1

11、勾股:今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？
　　答曰：广二尺八寸；高九尺六寸。
　　术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其馀。以开方除之，所得，减相多之半，即户广。加相多之半，即户高。

>>>
[-9.6, 2.8000000000000003]
>>> 2.8+6.8
9.6

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [2, \
13.6,\
6.8**2-100];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

12、勾股:今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、袤各几何？
　　答曰：广六尺，高八尺，袤一丈。
　　术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户袤。

w = x - 4
h = x - 2
w**2 + h**2 = x**2

>>>
[2.0, 10.0]

>>> 10-4
6
>>> 10-2
8

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [1, \
-8-4,\
16+4];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

13、勾股:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？
　　答曰：四尺、二十分尺之十一。
　　术曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高而半其馀，即折者之高也。

gougu(10, 3, 0);
>>>
9.539392014169456
>>> 10-9.539392014169456
0.46060798583054385

14、勾股:今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何？
　　答曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
　　术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。

#行率x
(3x)**2 + 10**2 = (7x-10)**2

>>>
[0.0, 3.5]
>>> 3.5*7
24.5
>>> 3.5*3
10.5
>>>

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [9-49, \
140,\
0];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

15、勾股:今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何？
　　答曰：方三步、十七分步之九。
　　术曰：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。

>>> 12/3.4
3.5294117647058822
>>> 3+9/17
3.5294117647058822

x/(5-x) = 12/5 x = 12/3.4

16、勾股:今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？
　　答曰：六步。
　　术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。

8-R + 15 - R = (8**2+15**2)**0.5 = > R = 3

>>> (8**2+15**2)**0.5
17.0
>>> 23-17
6

17、勾股:今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木。问出南门几何步而见木？
　　答曰：六百六十六步、太半步。
　　术曰：出东门步数为法，半邑方自乘为实，实如法得一步。

>>> 115/15*100-100
666.6666666666667

15/100 = (15+100)/(100+x) = > x = 666.6666666666667

18、勾股:今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门十五里有木。问出南门几何步而见木？
　　答曰：三百一十五步。
　　术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。

>>> 1.0499999999999998*300
314.99999999999994

a = 7;
b = 9;
al = 15;

x = (al + a/2)/(al/b*2) - b/2
print(x);

19、勾股:今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？
　　答曰：一里。
　　术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。

(30 + x/2) / (30 / x * 2) - x/2 = 750 => (30 + 0.5x)*x - 30x = 750*60

>>>
[-300.0, 300.0] (单位：步）

import datastruct.alg as alg;

#(193+13*d/2)*d + (97-0.5d/2)*d = 3000*2

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [0.5, \
0,\
-750*60];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

20、勾股:今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？
　　答曰：二百五十步。
　　术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。

20/(x/2) = (20+14+x)/1775 => (34+x)*x = 40 * 1775

>>>
[-284.0, 250.0]

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [1, \
34,\
-40*1775];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

21、勾股:今有邑方十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北磨邑，适与乙会。率甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？
　　答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行四千三百一十二步半。
　　术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，馀，为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方半，即南行。置南行步求弦者，以邪行率乘之，求东者以东行率乘之，各自为实。实如南行率得一步。

#x为出南门距离, y为乙所行程
x/5 = (x+5)/y => xy = 5*(x+5)
(x+5)**2 + y**2 = (5/3y - x - 5)**2 单位:里

>>>
step1: ['(1)*x*y', '(-5)*x', '(-25)']
step1: ['(0)', '(0)', '(0)', '(-1.777778)*y^[2]', '(3.333334)*x^[1]*y^[1]', '(16.666666)*y^[1]']

-16/9y**2+10/3*x*y+50/3y = 0; => y = (10/3x + 50/3)*9/16 => y = 15/8x+75/8

import datastruct.alg as alg;

expr = alg.AlgExpressionCalc();
poly_1 = expr.strPolyFormat(['xy','-5x', '-25']);
t_1 = expr.strPolyFormat(['x', '5']);
t_2 = expr.strPolyFormat(['y']);
t_3 = expr.strPolyFormat(['5/3y', '-x', '-5']);
poly_2 = expr.strsub(expr.stradd(expr.strpow_n(t_1, 2), expr.strpow_n(t_2, 2)),\
expr.strpow_n(t_3, 2));
poly_2 = expr.strPolyCombine(poly_2);

print('step1: ', poly_1);
print('step1: ', poly_2);

>>>
[-5.0, 2.6666666666666665] #x = 8/3里
y = 15/8x+75/8 = 15/8*8/3+75/8 = 14又3/8

>>> 14.375*300
4312.5
>>> 8/3*300
800.0
>>> 4312.5/3*5
7187.5

solve = alg.AlgStringSolve();

coef = [15/8, \
75/8-5,\
-25];

result = solve.solvePolyInValueMode(coef);
print(result);

22、勾股:有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？
　　答曰：三十三丈三尺三寸、少半寸。
　　术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。

#此题的图可在网上搜得，四表围成一个边长为1丈的正方形，显示刻度，是平放在地上的
(0.03/1) = (1-0.03)/x => x =

>>> 0.97/0.03
32.333333333333336
>>> _+1
33.333333333333336

23、勾股:有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？
　　答曰：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。
　　术曰：置木高减人目高七尺，馀，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得，加木高即山高。

3/(9.5-0.7) = 53/(x-9.5) => x = 164.967

>>> 53/3*8.8+9.5
164.9666666666667

24、勾股:今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问井深几何？
　　答曰：五丈七尺五寸。
　　术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，馀，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸。

50/4 = 46/x => x = 575寸　
>>> 50*46/4
575.0

参见 http://blog.csdn.net/mwsister/article/details/51513174

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。

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