判断一个数是不是素数
文章目录
- 1.素数的定义
- 2.直接法
- 3.初步优化
- 4.继续优化
- 5.Miller-Rabin 概率素性测试算法
- 参考文献
1.素数的定义
素数又名质数,指除了 1 和本身外不再有其他因数的自然数。
特别规定 0 和 1 既不是质数也不是合数。最小的质数是 2,最小的合数是 4。
下面给出常见判断方法,效率依次提升,以 Golang 为例给出实现。
2.直接法
给定数 n(n>2),根据质数的定义,很容易想到遍历 [2,n-1] 看是否存在某个数可以整除它,如果存在则不是素数。
// isPrime 判断某个数是否是素数
func isPrime(n uint64) bool {if n <= 2 {return n == 2}for i := uint64(2); i < n; i++ {if n%i == 0 {return false}}return true
}
这里特殊处理不大于 2 的数,因为遍历 [2,n-1] 需要 n>2。
算法时间复杂度为 O(n),是最慢的实现。
3.初步优化
假如 n 是合数,必然存在非 1 的两个约数 p1 和 p2,其中 p1<=sqrt(n),p2>=sqrt(n)。由此我们可以改进上述方法优化循环次数。
func isPrime(n uint64) bool {if n <= 2 {return n == 2}sqrt := math.Sqrt(float64(n))for i := uint64(2); i <= uint64(sqrt); i++ {if n%i == 0 {return false}}return true
}
算法时间复杂度为 O(sqrt(n))。
4.继续优化
继续分析,其实质数还有一个特点,除了 2 和 3,它总是等于 6x-1 或者 6x+1,其中 x 是大于等于1的自然数。
上面的结论证明如下:
(1)6x 能被 6 整除;
(2)6x+2 能被 2 整除;
(3)6x+3 能被 3 整除;
(4)6x+4 能被 2 整除。
那么,就只有 6x+1 和 6x+5 (即等同于6x-1) 可能是质数了。
又因为合数有个性质,合数肯定有一个小于或等于根号的质因数,所以如果 n 能被 6 倍数两侧的数(才有可能是质数)整除,那么 n 是合数,否则 n 是素数。所以循环的步长可以设为 6,然后每次只判断 6 两侧的数能否整除 n 即可。
func isPrime(n uint64) bool {if n < 5 {return n == 2 || n == 3}// 不在6的倍数两侧的一定不是质数if n%6 != 1 && n%6 != 5 {return false}sqrt := math.Sqrt(float64(n))for i := uint64(5); i <= uint64(sqrt); i += 6 {// 是否是合数if n%i == 0 || n%(i+2) == 0 {return false}}return true
}
算法时间复杂度为 O(sqrt(n)/6)。
5.Miller-Rabin 概率素性测试算法
尽管上面的 O(sqrt(n)/6) 的算法已经非常优秀了,但是面对更高数量级的“大数”却会显得力不从心,所以上面朴素简单的算法一般不会用于工程实践中,一般使用 Miller-Rabin 算法。
Miller-Rabin 的理论基础来源于费马小定理,利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。关于 Miller-Rabin 算法原理这里不详细展开。
Golang 标准库基于 Miller-Rabin 已经实现了素性判断的方法,下面看下如何使用。
对于小于 2^64 的数,可以使用 big.ProbablyPrime(0),这种素性测试是100%准确的。
const n = 1212121
if big.NewInt(n).ProbablyPrime(0) {fmt.Println(n, "is prime")
} else {fmt.Println(n, "is not prime")
}
输出:
1212121 is prime
对于较大的数字,需要为 ProbablyPrime(n) 提供所需数量的测试 。对于 n 次测试,对于随机选择的非素数,返回 true 的概率最多为 (1/4)^n。一个常见的选择是使用 n = 20,这时误判概性率约为 0.000,000,000,001,基本可以认为是准确的了。
z := new(big.Int)
fmt.Sscan("170141183460469231731687303715884105727", z)
if z.ProbablyPrime(20) {fmt.Println(z, "is probably prime")
} else {fmt.Println(z, "is not prime")
}
输出:
170141183460469231731687303715884105727 is probably prime
其时间复杂度上界为 O(klog2(n))O(klog_2(n))O(klog2(n)),其中 k 为检测的轮数。增大 k 可以提高 Miller-Rabin 算法的准确度。
另外 Solovay–Strassen 也是工程中使用的概率素性判断算法,还有确定性算法 AKS,可在在多项式时间之内,决定一个给定整数是素数或者合数,感兴趣的同学可以了解一下这两个算法。
参考文献
CSDN.判断一个数是不是质数(素数),3种方式介绍
知乎.Go语言中检测一个数是否为素数
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