动态规划的背包问题 (共六题)

这一份一整体都是入门系列的基础裸体了。

开心的金明

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1060
题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：

v[j1]w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入输出格式

输入格式：
输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m （其中N（<30000）表示总钱数，m（<25）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数

v p （其中v表示该物品的价格(v<=10000)，p表示该物品的重要度(1~5)）

输出格式：
输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<100000000）。

输入输出样例

输入样例#1：
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2
输出样例#1：
3900
说明

NOIP 2006 普及组第二题

#include<stdio.h>const int MAXN=3e4+5;
int dp[MAXN],w[30],v[30],n,m;int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;++i) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);for(int i=0;i<m;++i){for(int j=n;j>w[i];--j)if(dp[j-w[i]]){dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]*v[i]);}dp[w[i]]=max(dp[w[i]],w[i]*v[i]);}int ans=0;for(int i=0;i<=n;++i) ans=max(ans,dp[i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}

P1164 小A点菜

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1164
题目背景

uim神犇拿到了uoi的ra（镭牌）后，立刻拉着基友小A到了一家……餐馆，很低端的那种。

uim指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。

题目描述

不过uim由于买了一些辅（e）辅（ro）书，口袋里只剩M元（M<=10000）。

餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有N种（N<=100），第i种卖ai元（ai<=1000）。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。

小A奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好吧uim身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。

由于小A肚子太饿，所以最多只能等待1秒。

输入输出格式

输入格式：
第一行是两个数字，表示N和M。

第二行起N个正数ai（可以有相同的数字，每个数字均在1000以内）。

输出格式：
一个正整数，表示点菜方案数。

输入输出样例

输入样例#1：
4 4
1 1 2 2
输出样例#1：
3

#include<stdio.h>const int MAXN=1e4+5;
int dp[MAXN],k,n,m;int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<n;++i){scanf("%d",&k);for(int j=m;j>k;--j) if(dp[j-k]) dp[j]+=dp[j-k];++dp[k];}printf("%d\n",dp[m]);return 0;
}

P1064 金明的预算方案

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1064#sub
题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件附件

电脑打印机，扫描仪

书柜图书

书桌台灯，文具

工作椅无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：

v[j1]w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入输出格式

输入格式：
输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m （其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数

v p q （其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出格式：
输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

输入输出样例

输入样例#1：
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出样例#1：
2200
说明

NOIP 2006 提高组第二题

#include<stdio.h>const int MAXN=3200;
int dp[MAXN],w[MAXN],v[MAXN],p[MAXN],tal[60],in[60][2],n,m;
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n/=10;
    for(int i=0;i<m;++i){        scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&p[i]);
        --p[i];
        w[i]/=10;
        if(p[i]>=0) in[p[i]][tal[p[i]]++]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;++i){        if(p[i]>=0) continue;
        for(int j=n;j>=w[i];--j){            if(dp[j-w[i]]||j==w[i]){                int tmp=dp[j-w[i]]+w[i]*v[i];
                dp[j]=max(dp[j],tmp);
                for(int u=0;u<tal[i];++u){                    int t=in[i][u];
                    int k=j+w[t];
                    if(k>n) continue;
                    dp[k]=max(dp[k],tmp+w[t]*v[t]);
                }
                if(tal[i]==2&&j+w[in[i][0]]+w[in[i][1]]<=n){                    dp[j+w[in[i][0]]+w[in[i][1]]]=max(dp[j+w[in[i][0]]+w[in[i][1]]],tmp+w[in[i][0]]*v[in[i][0]]+w[in[i][1]]*v[in[i][1]]);
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;++i) ans=max(ans,dp[i]);
    printf("%d\n",ans*10);
    return 0;
}

P1048 采药

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1048
题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入输出格式

输入格式：
输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式：
输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入样例#1：
70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例#1：
3
说明

对于30%的数据，M <= 10；

对于全部的数据，M <= 100。

NOIP2005普及组第三题

题解

裸01背包，输入输出不是文件，坑啊啊

#include<stdio.h>const int MAXN=1e3+5;
int dp[MAXN],time,num,T,M;int main()
{
//  freopen("medic.in","r",stdin);
//  freopen("medic.out","w",stdout);scanf("%d%d",&T,&M);for(int i=0;i<M;++i){scanf("%d%d",&time,&num);for(int j=T;j>=time;--j)if((dp[j-time]||j-time==0)&&dp[j-time]+num>dp[j])dp[j]=dp[j-time]+num;}int ans=0;for(int i=0;i<=T;++i) if(dp[i]>ans) ans=dp[i];printf("%d\n",ans);return 0;
}

P1049 装箱问题

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1049
题目描述

有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30，每个物品有一个体积（正整数）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入输出格式

输入格式：
一个整数，表示箱子容量

一个整数，表示有n个物品

接下来n行，分别表示这n 个物品的各自体积

输出格式：
一个整数，表示箱子剩余空间。

输入输出样例

输入样例#1：
24
6
8
3
12
7
9
7
输出样例#1：
0
说明

NOIp2001普及组第4题

#include<stdio.h>const int MAXN=2e4+5;
int dp[MAXN],n,V,v;int main()
{scanf("%d%d",&V,&n);dp[0]=1;for(int i=0;i<n;++i){scanf("%d",&v);for(int j=V;j>=v;--j)dp[j]|=dp[j-v];}int ans;for(int i=V;i;--i) if(dp[i]){ans=i;break;}printf("%d\n",V-ans);return 0;
}

P1616 疯狂的采药

URL： https://www.luogu.org/problem/show?pid=1616
题目背景

此题为NOIP2005普及组第三题的疯狂版。

此题为纪念LiYuxiang而生。

题目描述

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1.每种采药可以无限制地疯狂采摘。

2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入输出格式

输入格式：
输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

输出格式：
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入样例#1：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例#1：
140
说明

对于30%的数据，M <= 1000；

对于全部的数据，M <= 10000，且M*T<10000000(别数了，7个0)。

加油LiYuxiang，第一个AC留给你！

#include<stdio.h>const int MAXT=1e5+5;
int dp[MAXT],time,val,T,M;int main()
{scanf("%d%d",&T,&M);for(int i=0;i<M;++i){scanf("%d%d",&time,&val);for(int j=time;j<=T;++j)if((dp[j-time]||j-time==0)&&dp[j-time]+val>dp[j])dp[j]=dp[j-time]+val;}int ans=0;for(int i=0;i<=T;++i) if(dp[i]>ans) ans=dp[i];printf("%d\n",ans);return 0;
}