动态规划之背包问题---01背包---完全背包---多重背包

本篇博客是基于Carl大佬的刷题笔记 (代码随想录) 进行总结的

另外加入了我自己的一些整理，特此记录，以防遗忘

几种在面试中常见的背包，其关系如下：

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

一、基本步骤

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面为从这两点来对背包问题做的一些总结。

二、背包递推公式

1.问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j]=max(dp[j],dp[j−nums[i]]+nums[i])dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j−nums[i]]+nums[i]) ，对应题目如下：

动态规划：416.分割等和子集
动态规划：1049.最后一块石头的重量 II

2.问装满背包有几种方法：dp[j]+=dp[j−nums[i]]dp[j] += dp[j - nums[i]]dp[j]+=dp[j−nums[i]] ，对应题目如下：

动态规划：494.目标和
动态规划：518. 零钱兑换 II
动态规划：377.组合总和Ⅳ
动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）

3.问背包装满最大价值：dp[j]=max(dp[j],dp[j−weight[i]]+value[i]);dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);dp[j]=max(dp[j],dp[j−weight[i]]+value[i]);，对应题目如下：

动态规划：474.一和零

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j]=min(dp[j−coins[i]]+1,dp[j]);dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);dp[j]=min(dp[j−coins[i]]+1,dp[j]); ，对应题目如下：

动态规划：322.零钱兑换
动态规划：279.完全平方数

三、遍历顺序

01背包

二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的！

完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

四、总结

这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两步：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了。

而且每一个点，都给出了对应的力扣题目。

五、代码

01背包问题的母题（代码如下）

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>using namespace std;int test_01_package(vector<int> &value, vector<int> &weight, int bagWeight)
{// 使用dp算法求解最大容量为4的背包可以装载物品的最大价值// 1.创建dp数组 dp[i][j]表示容量为j的背包的从物品0~i中任取物品后可装载的最大价值vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagWeight + 1));// 3.初始化dp数组for (size_t i = 0; i < weight.size(); i++) {dp[i][0] = 0;}for (int j = 0; j < weight[0]; j++) {dp[0][j] = 0;}for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 2.递归公式// dp[i][j] 表示容量为j的背包的从物品0~i中任取物品后可装载的最大价值// 其值的获取可以由两种情况递推得到(分情况讨论)//      a.肯定不取物品i             dp[i][j] = dp[i-1][j] //      b.既可以取也可以不取物品i     max(dp[i-1][j-weight[i]] + value, dp[i-1][j])// 4.遍历for (size_t i = 1; i < weight.size(); i++) {for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){if(j < weight[i])dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}// 5.返回结果return dp[weight.size() - 1][bagWeight];
}/** 1.dp数组创建 dp[j] 表示容量为i的背包所能装载的最大价值* 3.初始化 dp[j]数组 在只有一个物品0可选时 选该物品dp[j]!=0 不选该物品dp[j]==0 因此dp数组应该初始化为0*   由于是 vector<int> 编译器默认初始化为0 故这步可以省略* 2.递推公式*   dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[j]] + value[i])*   本质上是二维dp数组中的第i行复用了dp数组中的第i-1行 同时为了避免dp[i][j]覆盖了dp[i-1][j]*   进一步影响dp[i][j++...]的递推求解 所以遍历顺利应该改成从大到小 从右向左的顺序* 4.遍历* 5.返回最终值*/
int test_01_package_scroll(vector<int>& value, vector<int>& weight, int bagWeight)
{vector<int> dp(bagWeight + 1);for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[bagWeight];
}int main() {// 1.物品价值vector<int> value = {15, 20, 30};// 2.物品重量vector<int> weight = {1, 3, 4};// 3.背包容量int bagWeight = 4;cout << "test_01_package:";cout << test_01_package(value, weight, bagWeight) << endl;cout << "test_01_package_scroll:";cout << test_01_package_scroll(value, weight, bagWeight) << endl;return 0;
}

完全背包问题的母题（代码如下）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;/** 对于完全背包问题, 有如下几条结论:* 1、因为是完全背包问题，所以正序遍历dp[j]* 2、如果是组合问题，应该先遍历物品(外循环) 再遍历背包容量(内循环)*      因为物品在外边循环，假如背包容量为4, 物品被遍历到的顺序是[1, 3, 4...], 那么物品的顺序只能是{1, 3} 而不能是{3, 1}* 3、如果是排列问题，应该先遍历背包容量(外循环) 再遍历物品(内循环)*/int test_completePackage(vector<int> &value, vector<int> &weight, int bagweight)
{// 1.dp数组vector<int> dp(bagweight + 1);// 2.初始化// dp[0] = 0;// 3.递归公式// dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);// 4.遍历for (size_t i = 0; i < value.size(); i++){for (int j = weight[i]; j <= bagweight; j++){dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}// 5.返回结果return dp[bagweight];
}int main() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;cout << test_completePackage(value, weight, bagWeight) << endl;return 0;
}

多重背包问题的母题（代码如下）

/** 多重背包问题* 指定背包重量为j 求解背包容量为j时 从下属数组描述的物品中选取 试问该背包所能装载的最大价值是多少？其中物品的数目是一个有限值* 物品的重量为weight[]表示* 物品的价值为value[]表示* 物品的数目为nums[]表示---->注意:这里正是多重背包问题与01背包问题、完全背包问题的区别之处** 解题思路: 将多重背包平铺开来，就变成了01背包问题 如下所示:*      物品重量 weight[i] = {1, 3, 4};*      物品价值 value[i] = {15, 20, 30};*      物品数目 nums[i] = {2, 3, 2};* 平铺后等价于--->*      物品重量 weight[i] = {1, 1, 3, 3, 3, 4, 4};*      物品价值 value[i] = {15, 15, 15, 20, 20, 20, 30, 30};*      物品数目 nums[i] = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1};* 也就可以直接使用01问题解决了*/#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;int test_MultiPackage(vector<int> w, vector<int> v, vector<int> n, int bagWeight) {// 一.平铺问题变成01背包for (size_t i = 0; i < n.size(); i++){while (n[i] > 1){w.push_back(w[i]);v.push_back(v[i]);n[i]--;}}// 二.按照01问题解决vector<int> dp(bagWeight + 1);dp[0] = 0;for (size_t i = 0; i < w.size(); i++){  for (int j = bagWeight; j >= w[i] ; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}return dp[bagWeight];
}int main() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};vector<int> nums = {2, 3, 2};int bagWeight = 10;cout << test_MultiPackage(weight, value, nums, bagWeight) << endl;return 0;
}