鸽巢原理 Ramsey数

这个原理听起来会非常简单,但是实际运用却需要极大的构思能量

原理内容:

把n+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子内有两个或两个以上物体。

什么当作盒子什么当作物体是关键

例1:
在边长为2的正方形中5个点，至少存在两个点，使得它们之间的距离小于等于 2–√ 2 \sqrt{2} , 显然成立

例2（经典）:

任意一群人中至少存在两个人，他们在这群人中认识的人数恰好相等。

设任意一群人为n人

当n=2时，显然成立
当n>=3时，设xi表示第i个人的熟人数目（0<=xi<=n-1）
1. 如果每个xi>0，1<=xi<=n-1，但有n个xi，所以成立
2. 考虑一个xi=0，其他xi有1<=xi<=n-2，n-1个xi，所以成立
3. 两个xi=0显然成立

原理形式：

把m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子内至少有 1+[mn] 1 + [ m n ] 1+[\dfrac{m}{n}]个物体。

例1：
40个人中至少 1+[4012] 1 + [ 40 12 ] 1+[\dfrac{40}{12}]有两个人是同一月出生。

例2：

人数为6的一群人中，一定有三个人彼此认识或彼此不认识。

这群人中任取一个人设为P，则其余5人分成两部分：F和S
F={与P认识的人}，S={与P不认识的人}
F或S中至少有一个至少有3人。不妨设F有3人A,B,C。
A,B,C中分情况讨论

设三人都不认识，满足定义后者
设三人都认识，满足定义前者
不妨A,B认识，和P一起满足前者

推论：

m1,m2...mn m 1 , m 2 . . . m n m_1,m_2...m_n为正整数，满足 m1+m2+...+mnn>r−1 m 1 + m 2 + . . . + m n n > r − 1 \dfrac{m_1+m_2+...+m_n}{n}>r-1，则至少有一个 m>=r m >= r m>=r

例1：

将1,2,…,10随机摆成一圈，必有相连的三个数的和至少为17。

所以的三个数的一节的和为 (1+2+...+10)∗3=165 ( 1 + 2 + . . . + 10 ) ∗ 3 = 165 (1+2+...+10)*3=165

165/10>17−1 165 / 10 > 17 − 1 165/10>17-1，所以一定有一个节大于等于17

Ramsey数

Ramsey定理是鸽巢原理的推广，其一般形式很复杂。

R(a,b)表示至少a个人彼此认识或b个人彼此不认识的最少人数

6人群中，一定有至少3个认识或3个彼此不认识
10人群中，一定有至少4个认识或3个彼此不认识

R(a,b)也表示完全图，对任意一条边涂以红色或蓝色，至少有红色a边形或蓝色b边形的最少顶点数

10点完全图，一定有一个红色三角形或蓝色四边形
20点完全图，一定有一个红色四角形或蓝色四边形

R(3,3)<=6 ，R(3,4)<=10 ，R(4,3)<=10 ，R(4,4)<=20

Ramsey数性质

R(a,b)=R(b,a) R ( a , b ) = R ( b , a ) R(a,b)=R(b,a)
R(a,2)=a R ( a , 2 ) = a R(a,2)=a
R(p,q)<=R(p−1,q)+R(p,q−1) R ( p , q ) <= R ( p − 1 , q ) + R ( p , q − 1 ) R(p,q)