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一 写在开头

本文内容为《组合数学》课程的最后一部分，容斥原理与鸽巢原理。这部分的内容分解图如下。

二 容斥原理

如下图所示。可以得到容斥原理的简单形式

\[ \begin{equation} \begin{split} \vert A \cup B \cup C \vert &= \vert A \vert + \vert B \vert + \vert C \vert\\ &- \vert A \cap B \vert - \vert A \cap C \vert - \vert B \cap C \vert\\ &- \vert A \cap B \cap C \vert \end{split} \end{equation} \]

全或形式的容斥原理如下
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert &= \sum_{i=1}^n \vert A_i \vert\\ &-\sum_{i=1}^n \sum_{j > i} \vert A_i \cap A_j \vert\\ &+\sum_{i=1}^n \sum_{j > i} \sum_{k > j} \vert A_i \cap A_j \cap A_k \vert\\ &+...\\ &+(-1)^{n-1} \vert A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \vert \end{split} \end{equation} \]

全非形式的容斥原理（逐步淘汰原理）如下
假设在集合\(S\)上讨论\(A_1, A_2, ..., A_n, \vert S \vert = N\)，则有
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap ... \cap \overline{A_n} \vert = N - \vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert \end{split} \end{equation} \]
\(\vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert\)的计算公式上上面已给出。

容斥原理的第三种形式如下
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap ... \cap \overline{A_{n-1}} \cap A_n \vert &= \vert A_n \vert\\ &-(\vert A_1 \cap A_n \vert + \vert A_2 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &+(\vert A_1 \cap A_2 \cap A_n \vert + \vert A_1 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_1 \cap A_{n-1} \cap A_n \vert + \vert A_2 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &-(\vert A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-3} \cap A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &+ ...\\ &+(-1)^{n-1} \vert A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \vert \end{split} \end{equation} \]

容斥原理求解方案数举例：求从\([1, 500]\)的整数中，能够被3, 5, 7中的两个数整除的数的个数。

解：令
\(A_1\)表示\([1, 500]\)中能被3整除的数的集合
\(A_2\)表示\([1, 500]\)中能被5整除的数的集合
\(A_3\)表示\([1, 500]\)中能被7整除的数的集合
则所求个数为$ \vert A_1A_2 \overline{A_3} \vert + \vert A_1A_3 \overline{A_2} \vert + \vert A_2A_3 \overline{A_1} \vert$

三 鸽巢原理

鸽巢原理的简单形式：有\(n+1\)只鸽子飞进\(n\)个巢中，那么至少有一个鸽巢中有两只或两只以上的鸽子。

鸽巢原理的加强形式：设\(m_1, m_2, ..., m_n\)都是正整数，有\(m_1 + m_2 + ... + m_n - n + 1\)只鸽子飞进\(n\)个巢中，则下列\(n\)个命题中至少有一个成立。
或者第1个鸽巢，至少有\(m_1\)只鸽子
或者第2个鸽巢，至少有\(m_2\)只鸽子
...
或者第n个鸽巢，至少有\(m_n\)只鸽子

四 Ramsey定理

略

五 Burnside引理与波利亚定理

Burnside引理表述如下：
设\(G\)是\(N=\{1, 2, ..., n\}\)上的置换群，\(G\)在\(N\)上可引出不同的等价类，其不同等价类的个数为：
\[ l = \frac{1}{\vert G \vert}[ c_1(a_1) + c_1(a_2) + c_1(a_i) + ... + c_1(a_g)] \]
其中\(c_1(a_i)\)表示置换\(a_i\)作用后不变的方案个数。

波利亚定理表述如下：
设\(N\)是n个对象的集合，\(\overline{G} = \{\overline{P_1}, \overline{P_2}, ... , \overline{P_g}\}\)是\(N\)上的置换群，用m种颜色\(b_1, b_2, ..., b_m\)对n个对象进行着色，设\(C_k(\overline{P})\)为置换\(\overline{P}\)中\(k-\)循环的个数，令\(S_k = b_1^k + b_2^k + ... + b_m^k~~ k=1,2,...,n\)(\(S_k\)为每种颜色允许出现k次)，则具体着色方案数的多项式为：
\[ P = \frac{1}{\vert \overline{G} \vert} \sum_{\overline{p_i} \in \overline{G}} S_1^{C_1(\overline{p_i})} \cdot S_2^{C_2(\overline{p_i})} \cdot ... \cdot S_n^{C_n(\overline{p_i})} \]

展开合并同类项，则\(b_1^{i_1}b_2^{i_2}...b_m^{i_m}\)前的系数即为具体着色方案数。