浅谈鸽巢原理的证明和简单应用

一、鸽巢原理的证明

1.定义：

若有n个鸽巢和kn+1只鸽子，所有的鸽子都进入鸽巢，那么至少有一个巢中有k+1只鸽子(n，k≥0)。

2.证明(反证法)：

若每个鸽巢中的鸽子数都不大于k，则总鸽子数<=kn，与已知相悖。得证。

3.拉姆齐(Ramsey)定理的证明:6个人中，要么存在三个人彼此互相认识，要么存在三个人彼此都不认识；

证明：设六个人为六个点，认识或不认识用两种不同颜色的线段代表，因为两人只有一种关系，所以任意一点一定会引出连向其他5点的五个线段，根据鸽巢定理，有2种关系，有2*2+1=5条关系线，即k=2，
那么必定有一种关系拥有2k+1=3条关系线，得证。

4.中国剩余定理（孙子定理）的证明：

求证：设N,M除了1以外没有公约数(即N,M互质)，两个数字a,b满足0≤a<N, 0≤b<M，则恰好存在且仅存在一个数字c满足0≤C<NM且c除以n的余数为a，除以m的余数为b。
证明(反证法)：设存在两个不等的数0≤C1,C2<nm，使C1,C2关于N,M均同余，即

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