一些有趣的鸽巢原理的题目
鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例。也是编程爱好者必须掌握的研究离散问题中存在性问题的方法。
它的简单形式是 ： 把ｎ＋１个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体 。
做题之前，先贴几个小问题：
（1）月黑风高穿袜子
有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。
你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少？
如果你懂得鸽笼原理，你就会知道只需拿出去四只袜子就行了。
为什么呢？因为如果我们有三个涂上红、白、蓝的盒子，里面各放进相对颜色的袜子，只要我们抽出4只袜子一定有一个盒子是空的，那么这空的盒子取出的袜子是可以拿来穿。
（2）手指纹和头发
据说世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人。
可是你知道不知道：在12亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？
道理是很简单，人的头发数目是不会超过12亿这么大的数目字！假定人最多有N根头发。现在我们想像有编上号码1，2，3，4，…一直到N的房子。
谁有多少头发，谁就进入那编号和他的头发数相同的房子去。因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3号房子”。
现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“九亿减N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了。
（3）戏院观众的生日
在一间能容纳1500个座位的戏院里，证明如果戏院坐满人时，一定最少有五个观众是同月同日生。
现在假定一年有三百六十五天。想像有一个很大的鸽子笼，这笼有编上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”为止的标志的间隔。
假定现在每个间隔都塞进四个人，那么 4×365=1460个是进去鸽子笼子里去，还剩下1500-1460=40人。只要任何一人进入鸽子笼，就有五个人是有相同的生日了。
解题的关键是：弄清题目中，谁是鸽子谁是巢
题1：证明，如果从{1,2,3,....3n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间的差最多为2。
解：分组化简。将这3n个整数分组，{1,2,3}，{4,5,6}.....{3n-2,3n-1,3n} 共n组。这样题目等价于：将n+1个整数放在n个盒子里。则根据原理，至少存在一个盒子里有两个数，这两个数之差最多为2。
题2：证明，对于任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被100整除。要么两者的差能被100整除。
解：还是分组化简！将数这样进行分组：将所有整数的后两位尾数分组。{+0,-0,+100,-100,+200,-200....}，{+1,-1,+99,-99,+101,-101,+199,-199,+201,-201......}，......，{+49,-49,+51,-51,+149,-149,+151,......}{+50,-50,+150,-150,+250,-250......} 这样。将所有的能被100整数的数分为51组（鸽子）。而从中取52个，（巢）。必有两个在同一组。得证。
题3：一个学生有37天来准备考试，她知道她需要不超过60小时的学习时间，她还希望每天至少学习1小时。证明，无论如何安排学习时间（每天都是整数小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
证明：令a1为她第一天学习的小时数，a2为第二天的学习时数。这样。存在这样一个递增数列a1,a2,a3,......a37。满足：1<=a1<a2<a3......a37<=60。同时，将这个数列每个数都加上13。则存在数列：14<=a1+13<a2+13<a3+13......a37+13<=73。而这两个数列共有37+37=74个成员。这样。鸽子和巢终于出现^_^ 必然存在一个ai,和一个aj.使得ai=aj+13.就是说这两个数列中必然有两个差为13的数。得证。
题4：一个袋子装了100个苹果，100个香蕉，100个橘子，100个梨子。如果我们每分钟从袋子里取出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已经拿出1打相同种类的水果。
解：根据鸽巢原理加强形式：如果q1,q2,,,,,qn为正整数，将q1+q2+.....qn-n+1个物体放入n个盒子里。那么，至少存在一个盒子含有qn个物体。对于此题：我们需要取12个水果。设已经取出了11个水果，还剩下一个。那么需要11×4+1分钟。
题5：证明对于任意n+1个整数a1,a2,.....a(n+1)存在两个整数ai和aj，i≠j，使得ai-aj能够被n整除。
解：由于任一整数被n整除的余数有0,1,2,......n-1。 共n种，对于n+1个数，由鸽巢原理可得证。即存在ai,aj。ai=bn+r,aj=cn+r (b>c)。ai-aj=(b-c)n。所以n|ai-aj。至少两个整数被n整除的余数相等。
题6：证明，边长为2的正方形中取5个点，当中存在2个点，这2点的距离至多为√2
解：将正方形分成四等分即可。
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