能够证明“3=0”吗？

1 “3=0”吗？

之前在我们课程的答疑群中，有同学问了这么一个问题，已知：

$x^2+x+1=0$

从已知出发可以得到两个代数式：

$\begin{aligned} x^2+x+1=0&\implies \color{Orange}{x+1=-x^2}&&(1)\\ x^2+x+1=0&\implies x(x+1)+1=0&&(2) \end{aligned}$

综合 $(1)$ 、 $(2)$ 两个代数式可以得到：

$\begin{aligned} x(x+1)+1=0 &\implies x\cdot \left(-x^2\right)=-1\\ &\implies x^3=1\\ &\implies x=1 \end{aligned}$

将这个解代回原来的方程去验算：

$x^2+x+1=1^2+1+1=0\implies \color{red}{3=0}$

错在哪里？

2 代数基本定理

根据代数基本定理：

n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根。

最初的一元二次方程在复平面上有两个根：

$x^2+x+1=0\implies \begin{cases} x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\ x_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\ \end{cases}$

这两个根正好在复平面上的一个圆上：

而变换之后得到的新的方程，却有三个根：

$x^3=1\implies \begin{cases} x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\ x_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\ \color{red}{x_3=1} \end{cases}$

这三个根也在这个圆上：

多出来的这个根其实并非原方程的根，就是这个根导致了错误的结果。

3 不等价变换

代数基本定理虽然很漂亮，也可以解释文章开头的矛盾，但到底哪一步有逻辑错误，从而引入了这个矛盾？

3.1 不等价的步骤

在整个变换过程中，红色标注的步骤是不等价的：

$\begin{aligned} x\overbrace{(x+1)}^{x+1=-x^2}+1=0 &\color{red}{\implies} x^3=1\\ &\implies x=1 \end{aligned}$

在数学中，如果不能双向推，那么两者其实是不等价的。而这里红色的步骤是不能反着推：

$x(x+1)+1=0\not\Longleftarrow x^3=1$

由于不能反着推，所以：

$x(x+1)+1=0\quad 不等价于\quad x^3=1$

更通俗点说，不等价的意思是两者并不完全一样，所以由后者得出的结论：

$x^3=1\implies x=1$

并不一定可以代入前者去验证。

3.2 换一种方法

可能大家还是看不出来为什么不能反着推，我们换一种方法来解释。之前的变换完全可以改写为下面的形式：

$\begin{aligned} x(x+1)+1=0 &\color{red}{\implies} (x-1)\left[x(x+1)+1\right]=(x-1)\cdot 0\\ &\implies x^3=1\\ &\implies x=1 \end{aligned}$

红色的步骤是通过左右两边同时乘以 $(x-1)$ 得到，如果想要反推回去，这需要在两边同时除以 $(x-1)$ ，但是 $(x-1)$ 有可能为0，所以是反推不回去的：

$x(x+1)+1=0 \not\Longleftarrow (x-1)\left[x(x+1)+1\right]=(x-1)\cdot 0$

除非增加一个条件才能反着推：

$x(x+1)+1=0 \Longleftarrow \begin{cases} (x-1)\left[x(x+1)+1\right]=(x-1)\cdot 0\\ \color{red}{x\ne1} \end{cases}$

增加的这个条件正好避免出现：

$3=0$

的错误。

4 写在最后的

数学的本质是由逻辑推理出来的一个虚拟世界。各种图像、动图，比如：

可以帮助建立对这个逻辑世界的直觉。但是，我们还是需要通过代数来构造这个世界，通过代数来理解这个世界。

在代数的学习中，你会在一思一辨、一琢一磨之间，得到细致入微的逻辑快感，这是无可替代的，也是数学美之所在。

就像本文开头提到的逻辑错误，如果沉浸其中，仔细思考，最终能够理解，此时就好像准备很久终于完成一道大餐，食物入口的瞬间，愉悦感达到顶峰。

旧的一年马上过去了，马同学完成了《线性代数》、《单变量微积分》课程的撰写，希望能够呈现一点点数学之美。在即将来到的新年，我们也会不忘初心、砥砺前行，在这里给大家拜一个早年。

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