利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简

我们知道平面上二次曲线的一般方程是：
a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0，（1）a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_{0}= 0，（1） a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0，（1）
其中a11,a12,a22a_{11},a_{12},a_{22}a11,a12,a22不全为零。
我们常用的一个方法是先利用转轴变换，坐标旋转角则可用以下公式得到：
cot(2θ)=a11−a22a12，（2）cot(2\theta)=\frac{a_{11}-a_{22}}{a_{12}} ，（2）cot(2θ)=a12a11−a22，（2）
但是之后的过程略显复杂，故本文采用不变量的方法来对二次曲线方程进行化简，并将结合MATLAB进行实现。

1.数学原理

二次曲线的不变量和半不变量为：
I1=a11+a22，（3）I_{1}=a_{11}+a_{22}，（3） I1=a11+a22，（3）
I2=∣a11a12a12a22∣，（4）I_{2}=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|，（4） I2=∣∣∣∣a11a12a12a22∣∣∣∣，（4）
I3=∣a11a12a1a12a22a2a1a2a0∣，（5）I_{3}=\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{2}\\ a_{1}&a_{2}&a_{0}\\ \end{matrix} \right|，（5） I3=∣∣∣∣∣∣a11a12a1a12a22a2a1a2a0∣∣∣∣∣∣，（5）
K1=∣a11a1a1a0∣+∣a22a2a2a0∣，（6）K_{1}=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0} \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} \\ \end{matrix} \right|，（6） K1=∣∣∣∣a11a1a1a0∣∣∣∣+∣∣∣∣a22a2a2a0∣∣∣∣，（6）
可以由不变量和半不变量就能完全确定二次曲线的类型和形状，即为二次曲线的化简式，如下表【1】所示：

型别	类别	识别标记	化简后方程
椭圆型 I2>0I_{2}>0I2>0	(1) 椭圆; (2) 虚椭圆; (3) 一个点	I3与I1异号I_{3}与I_{1}异号I3与I1异号I3与I1同号I_{3}与I_{1}同号I3与I1同号I3=0I_{3}=0I3=0	λ1x∗2+λ2y∗2+I3I1=0\lambda_{1}x^{^{2}}+\lambda_{2}y^{^{2}}+\frac{I_{3}}{I_{1}}=0λ1x∗2+λ2y∗2+I1I3=0其中λ1，λ2是多项式其中\lambda_{1}，\lambda_{2}是多项式其中λ1，λ2是多项式λ2−I1λ+I2的两个实根\lambda^2-I_{1}\lambda+I_{2}的两个实根λ2−I1λ+I2的两个实根
双曲型 I2<0I_{2}<0I2<0	(4) 双曲线； (5) 一对相交直线	I3≠0I_{3}≠0I3̸=0I3=0I_{3}=0I3=0	同上
抛物型 I2=0I_{2}=0I2=0	(6) 抛物线	I3≠0I_{3}≠0I3̸=0	I1y∗2±2−I3I1x∗=0I_{1}y^{^{2}}±2\sqrt{\frac{-I_{3}}{I_{1}}}x^{}=0I1y∗2±2I1−I3x∗=0
同上	(7) 一对平行直线; (8) 一对虚平行直线； (9) 一对重合直线	I3=0,K1<0I_{3}=0,K_{1}<0I3=0,K1<0I3=0,K1>0I_{3}=0,K_{1}>0I3=0,K1>0I3=0,K1=0I_{3}=0,K_{1}=0I3=0,K1=0	I1y∗2+K1I1=0I_{1}y^{*^{2}}+\frac{K_{1}}{I_{1}}=0I1y∗2+I1K1=0

【表1】二次曲线的不变量与曲线的类型和形状的关系

2.代码实现

MATLAB 中可以提取方程左端展开后的多项式的系数，在由系数计算不变量和半不变量，对比【表1】得到二次曲线方程的化简后方程，代码如下：

在运行时输入二次曲线方程 f(x,y) = 0 的左端，运行结果示例如下图所示：

代码文件可以在下面链接中下载：
https://download.csdn.net/download/m0_43484109/10861992