7.1.1 分段线性插值

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理。实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：

interp1(x,y,xi) 一维插值

◆ yi=interp1(x,y,xi)

对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值。x为节点向量值，y为对应的节点函数值。如果y 为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或 xi 的维数，则返回NaN。

◆ yi=interp1(y,xi)

此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1)。

◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)

method用来指定插值的算法。默认为线性算法。其值常用的可以是如下的字符串。

● nearest 线性最近项插值。

● linear 线性插值。

● spline 三次样条插值。

● cubic 三次插值。

所有的插值方法要求x是单调的。x 也可能并非连续等距的。

正弦曲线的插值示例：

>> x=0:0.1:10;

>> y=sin(x);

>> xi=0:0.25:10;

>> yi=interp1(x,y,xi);

>> plot(x,y,’0’,xi,yi)

则可以得到相应的插值曲线(读者可自己上机实验)。

Matlab也能够完成二维插值的运算，相应的函数为interp2，使用方法与interpl基本相同，只是输入和输出的参数为矩阵，对应于二维平面上的数据点，详细的用法见Matlab联机帮助。

7.1.2 最小二乘法拟合

在科学实验的统计方法研究中,往往要从一组实验数据中寻找出自变量x 和因变量y之间的函数关系y=f(x) 。由于观测数据往往不够准确，因此并不要求y=f(x)经过所有的点 ,而只要求在给定点上误差按照某种标准达到最小，通常采用欧氏范数作为误差量度的标准。这就是所谓的最小二乘法。在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。

函数polyfit是指用一个多项式函数来对已知数据进行拟合，我们以下列数据为例介绍这个函数的用法：

>> x=0:0.1:1；

>> y=[ -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ]

为了使用polyfit，首先必须指定我们希望以多少阶多项式对以上数据进行拟合，如果我们指定一阶多项式，结果为线性近似，通常称为线性回归。我们选择二阶多项式进行拟合。

>> P= polyfit (x, y, 2)

P=

-9.8108 20.1293 -0.0317

函数返回的是一个多项式系数的行向量，写成多项式形式为：

为了比较拟合结果，我们绘制两者的图形：

>> xi=linspace (0, 1, 100); %绘图的X-轴数据。

>> Z=polyval (p, xi); %得到多项式在数据点处的值。

当然，我们也可以选择更高幂次的多项式进行拟合，如10阶：

>> p=polyfit (x, y, 10);

>> xi=linspace (0, 1,100);

>> z=ployval (p, xi);

读者可以上机绘图进行比较，曲线在数据点附近更加接近数据点的测量值了，但从整体上来说，曲线波动比较大，并不一定适合实际使用的需要，所以在进行高阶曲线拟合时，“越高越好”的观点不一定对的。

7.2 符号工具箱及其应用

在数学应用中，常常需要做极限、微分、求导数等运算，MATLAB称这些运算为符号运算。MATLAB的符号运算功能是通过调用符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)内的工具实现，其内核是借用Maple数学软件的。MATLAB的符号运算工具箱包含了微积分运算、化简和代换、解方程等几个方面的工具，其详细内容可通过MATLAB系统的联机帮助查阅，本节仅对它的常用功能做简单介绍。

7.2.1 符号变量与符号表达式

MATLAB符号运算工具箱处理的对象主要是符号变量与符号表达式。要实现其符号运算，首先需要将处理对象定义为符号变量或符号表达式，其定义格式如下：

格式1： sym (‘变量名’) 或 sym (‘表达式’)

功能： 定义一个符号变量或符号表达式。

例如：

>> sym (‘x’) % 定义变量x为符号变量

>> sym(‘x+1’) % 定义表达式x+1为符号表达式

格式2： syms 变量名1 变量名2 …… 变量名n

功能： 定义变量名1、变量2 ……、变量名 n为符号变量。

例如：

>> syms a b x t % 定义a,b, x,t 均为符号变量

7.2.2 微积分运算

1、极限

格式：limit (f, t, a, ‘left’ or ‘right’)

功能：求符号变量t 趋近a 时，函数f 的(左或右)极限。‘left’ 表示求左极限，‘right’ 表示求右极限，省略时表示求一般极限；a省略时变量t 趋近0； t省略时默认变量为x ，若无x则寻找(字母表上)最接近字母x 的变量。

例如：求极限的命令及结果为：

>> syms x t

>> limit ((1+2*t/x)^(3*x) , x, inf )

ans=

exp(6*t)

再如求函数x / |x| ，当时的左极限和右极限，命令及结果为：

>> syms x

>> limit(x/abs(x), x, 0, ’left’) ans = -1

>> limit(x/abs(x),x, 0, ’right’) ans = 1

2、导数

格式： diff (f,t,n)

功能： 求函数f 对变量 t的n 阶导数。当n省略时，默认 n=1；当t省略时，默认变量x, 若无x时则查找字母表上最接近字母x 的字母。

例如：求函数f=a*x^2+b*x+c对变量 x的一阶导数, 命令及结果为

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> diff(f)

ans=

2*a*x+b

求函数f 对变量b的一阶导数(可看作求偏导), 命令及结果为

>> diff(f,b) ans=x

求函数f 对变量x的二阶导数, 命令及结果为

>> diff(f,2) ans=2*a

3、积分

格式： int(f,t,a,b)

功能： 求函数f 对变量 t从a 到b的定积分. 当a和b省略时求不定积分；当t省略时, 默认变量为(字母表上)最接近字母x的变量。

例如：求函数f=a*x^2+b*x+c对变量x不定积分, 命令及结果为

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> int(f)

ans=

1/3*a*x^3+1/2*b*x^2+c*x

求函数f 对变量b不定积分, 命令及结果为

>> int(f,b)

ans=

a*x^2*b+1/2*b^2*x+c*b

求函数f 对变量x 从 1到5的定积分, 命令及结果为

>> int(f,1,5)

ans=

124/3*a+12*b+4*c

4、级数求和

格式： symsum (s,t,a,b)

功能：求表达式s中的符号变量t从第a项到第b项的级数和。

例如： 求级数的前三项的和, 命令及结果为

>> symsum(1/x,1,3) ans=11/6

7.2.3 化简和代换

MATLAB符号运算工具箱中，包括了较多的代数式化简和代换功能，下面仅举出部分常见运算。

simplify 利用各种恒等式化简代数式

expand 将乘积展开为和式

factor 把多项式转换为乘积形式

collect 合并同类项

horner 把多项式转换为嵌套表示形式

例如：进行合并同类项执行

>> syms x

>> collect(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)

ans=

5/2*x^3+3*x^2)

进行因式分解执行

>> factor(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)

ans=

1/2*x^2*(5*x+6)

7.2.4 解方程

1、代数方程

格式：solve (f,t)

功能：对变量t 解方程f=0，t 缺省时默认为x 或最接近字母x 的符号变量。

例如：求解一元二次方程f=a*x^2+b*x+c的实根，

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> solve (f,x)

ans=

[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^ (1/2))]

[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^ (1/2))]

2、微分方程

格式：dsolve(‘s’, ’s1’, ’s2’,…, ’x’)

其中s为方程；s1,s2,……为初始条件，缺省时给出含任意常数c1,c2,……的通解；x为自变量，缺省时默认为t 。

例如：求微分方程的通解

>> dsolve(‘Dy=1+y^2’)

ans=

tan(t+c1)

7.3 优化工具箱及其应用

在工程设计、经济管理和科学研究等诸多领域中，人们常常会遇到这样的问题：如何从一切可能的方案中选择最好、最优的方案，在数学上把这类问题称为最优化问题。这类问题很多，例如当设计一个机械零件时如何在保证强度的前提下使重量最轻

或用量最省(当然偷工减料除外)；如何确定参数，使其承载能力最高；在安排生产时，如何在现有的人力、设备的条件下，合理安排生产，使其产品的总产值最高；在确定库存时如何在保证销售量的前提下，使库存成本最小；在物资调配时，如何组织运输使运输费用最少。这些都属于最优化问题所研究的对象。

MATLAB的优化工具箱被放在toolbox目录下的optim子目录中，其中包括有若干个常用的求解函数最优化问题的程序。MATLAB的优化工具箱也在不断地完善。不同版本的MATLAB，其工具箱不完全相同。在MATLAB5.3版本中，对优化工具箱作了全面的改进。每个原有的常用程序都重新编制了一个新的程序。除fzero和fsolve外都重新起了名字。这些新程序使用一套新的控制算法的选项。与原有的程序相比，新程序的功能增强了。在MATLAB5.3和6.0版本中，原有的优化程序(除fzero和fsolve外)仍然保留并且可以使用，但是它们迟早会被撤消的。鉴于上述情况，本书将只介绍那些新的常用的几个优化程序。

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