利用matlab求线性方程组.doc

MATLAB语言课成论文利用MATLAB求线性方程组姓名郭亚兰学号12010245331专业通信工程班级2010级通信工程一班指导老师汤全武学院物电学院完成日期2011年12月17日利用MATLAB求解线性方程组(郭亚兰120102453312010级通信一班)【摘要】在高等数学及线性代数中涉及许多的数值问题，未知数的求解，微积分，不定积分，线性方程组的求解等对其手工求解都是比较复杂，而MATLAB语言正是处理线性方程组的求解的很好工具。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间(或称线性空间)，线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间(或称线性空间)，线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。【关键字】线性代数MATLAB语言秩矩阵解一、基本概念1、N级行列式AA等于所有取自不同性不同列的N个元素的积的代数和。2、矩阵B矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。3、线性无关一向量组(A1,A2,,AN)不线性相关，既没有不全为零的数K1,K2,KN使得K1A1K2A2KNAN04、秩向量组的极在线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。5、矩阵B的秩行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记RB6、一般线性方程组是指形式SSNSSNBAXAX2122211211二、基本理论三种基本变换1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一方程；3，互换两个方程的位置。以上称出等变换。消元法首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组1，如果剩下的方程当中最后的一个等式等于一非零数，那么方程组无解；否则有解；2，如果阶梯形方程组中方程的个数R等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；3，如果阶梯形方程组中方程的个数R小于未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。定理1线性方程组有解的充要条件为RARA,B线性方程组解的结构1对齐次线性方程组，A两个解的和还是方程组的解；B一个解的倍数还是方程组的解。定义齐次线性方程组的一组解U1,U2,UI称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果齐次线性方程组的任一解都表成U1,U2,UI的线性组合，且U1,U2,UI线性无关。2对非齐次线性方程组(1)方程组的两个解的差是(2)的解。(2)方程组的一个解与(2)的一个解之和还是(1)的解。定理2如果R0是方程组(1)的一个特解，那么方程组(1)的任一个解R都可以表成RR0V其中V是(2)的一个解，因此，对方称(1)的任一特解R0，当V取遍它的全部解时，(3)就给出了1全部解。三基本思路线性方程的求解分为两类一类是方程求唯一解或求特解；一类是方程组求无穷解即通解。(1)判断方程组解的情况。1当RARB时，有解(RARA，B)N唯一解，RARA,BN,有无穷解；2当RB1RA，B时无解。(2)求特解；(3)求通解(无穷解)，线性方程组的无穷解对应齐次方程组的通解非齐次方程组的一个特解；注以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要使用到(1),2步四、基本方法基本思路将在解题的过程中得到体现。1、(求线性方程组的唯一解或特解)，这类问题的求法分为两类一类主要用于解低阶稠密矩阵直接法；一类是解大型稀疏矩阵迭代法。2、利用矩阵除法求线性方程组的特解(或一个解)方程AXB,解法XA\B，(注意此处’\’不是’/’)1求方程组9763424232131XX命令如下A2,1,1,11,1,2,14,6,2,23,6,9,7产生4X4阶系数矩阵B2,4,4,9 对矩阵进行转置XA\B进行左初运算XNANINFINF30000曾介绍过利用矩阵求逆来解线性方程组，即其结果于使用左除是相同的。2、利用矩阵的分解求线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种运算将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见矩阵分解如，LU,QR和CHOLESKY分解求方程组的解，这三种分解，再求大型方程组是很有用。其优点是运算速度快，可以节省磁盘空间，节省内存。(1)LU分解又称GAUSS消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式(行变换)和上三角矩阵的乘积。即ALU,L为下三角阵,U为上三角阵。则AXB变成LUXB所以XU\L\B这样可以大大提高运算速度。命令L,ULUA在MATLAB中可以编如下通用M文件；在MATLAB建立M文件如下EXP1MABL,ULUA产生一个三角矩阵A和一个变换形式的下三叫矩阵L(交换行)，使之满足ALUXU\L\BL右乘B的结果再右乘U得到X的值2求方程组6372521421XX命令如下A1,1,1,12,5,3,27,7,3,1产生3X4阶系数矩阵B1,3,6 对矩阵进行转置L,ULUA产生一个三角矩阵A和一个变换形式的下三叫矩阵L(交换行)，使之满足ALUXU\L\BL右乘B的结果再右乘U得到X的值X042860428600RANK2,TOL67642E015采用第二种格式分解，在MATLAB建立M文件如下EXP1MABL,U,PLUAXU\L\PB3求方程组7372521421XX命令如下A1,1,1,12,5,3,27,7,3,1产生3X4阶矩阵B1,3,7 对矩阵进行转置L,U,PLUA产生一个三角矩阵A和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P,使之满足PALUXU\L\PBX的值X066670333300RANK2,TOL67642E015IICHOLESKY分解若A为对成正定矩阵，则CHOLESKY分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即AR’R其中R为上三角矩阵。方程AXB变成R’RXB所以XR\R’\B在MATLAB中建立M文件如下EXP2MABR’,RCHOLA产生一个上三角矩阵R，使R’RAXR\R’\BX的值4求方程组5032141XX命令如下A1,1,1,11,1,1,31,1,2,3产生3X4阶的矩阵B0,1,05 对矩阵进行转置R RCHOLA产生一个上三角矩阵R，使R RAXR\R \BX的值ERRORUSINGCHOLMATRIXMUSTBESQUARE命令执行时，此格式将不出现错误信息。当A为对称正定时，则P0；否则P为一个正整数。如果X未满秩矩阵，则R为一个阶数为QP1的上三角阵，且满足R’RA1Q,1Q。(3)QR分解对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即AQR方程AXB变形成QRXB所以XR\Q\B上例中Q,RQRA产生一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之AQRXR\Q\BX的值在MATLAB中建立M文件如下EXP3MABQ,RQRAXR\Q\B5求方程组83110X24命令如下A4,2,13,1,211,3,0产生