算法之线性时间选择（最坏情况下）

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线性时间选择（Linear Select）: 这个名字不太好理解，什么叫线性时间选择？一句话，在线性时间内完成选择。一般情况下是这样的，我们想要找出一个数组中的最大值或最小值，那就只需要一次排列，然后输出第一个或最后一个元素就行了，但如果是要找出一个数组中的第 k 小的元素呢？

在一般情况下，可以用 RandomizedSelect 方法来找出第 k 小的元素，平均时间是 O (n)，但在最坏情况下，所用的时间则是 n^2，因此，本文讨论的就是在最坏情况下，如何在 O (n) 时间内完成选择。算法的思路总体有些复杂，但每一步其实不难，下面即给大家介绍最坏情况下的线性时间选择算法。

（1）：将 n 个输入元素以每组 5 个地划分，共划分出 (n/5) 个组，每个组分别进行排列，找出中位数，然后按照每个组的顺序，把每个组的中位数与整个数组的前 (n/5) 个数交换；

（2）：那么，前 (n/5) 个数就是各组的中位数了，然后，我们通过 select 方法找出这些中位数的中位数，以这个中位数的中位数为基准，调用 partition 方法；

（3）：调用了 partition 方法后的基准元素正是处于数组的正确位置（前边的元素都比基准元素小，后边的元素都比基准元素大），记下基准元素前边的元素个数 leftNum，如果 k 小于或等于 leftNum，则在基准位置前的这部分调用 select 方法即可，如果在 k 大于 leftNum，则在基准位置后的这部分调用 select 方法。

下面，我直接把代码贴出，读者可以通过我的注释来理解每一步的意义。
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 1 private static int select(int[] a,int l,int r,int k){2     if(r - l < 75){3         insertSort(a, l, r);    //用快速排序进行排序4         return a[l + k - 1];5     }6     int group = (r-l+5)/5;7     for(int i = 0;i<group;i++){8         int left = l+5*i;9         int right = (l + i * 5 + 4) > r ? r : l + i * 5 + 4;  //如果超出右边界就用右边界赋值
10         int mid = (left+right)/2;
11         insertSort(a, left, right);
12         swap(a, l + i, mid);     // 将各组中位数与前i个
13     }
14     int pivot = select(a,l,l+group-1,(group+1)/2);  //找出中位数的中位数
15     int p = partition(a,l,r,pivot);    //用中位数的中位数作为基准的位置
16     int leftNum = p - l;       //leftNum用来记录基准位置的前边的元素个数
17     if (k == leftNum + 1)
18         return a[p];
19     else if (k <= leftNum)
20         return select(a, l, p - 1, k);
21     else                    //若k在基准位子的后边，则要从基准位置的后边数起，即第（k - leftNum - 1）个
22         return select(a, p + 1, r, k - leftNum - 1);
23 }

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到此大家也可以看出，这里的 partition 方法与前边讲到过的快速排序所用到的 partition 方法稍有不同，参数个数都变了，但其实变化只是很小，只是取消了一开始定义基准位置的步骤而已，代码如下：
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 1 private static int partition(int[] a,int l,int r,int pivot){   //适用于线性时间选择的partition方法2     int i = l;3     int j = r;4     while(true){5         while(a[i] <= pivot && i < r)6             ++i;   //i一直向后移动，直到出现a[i]>pivot7         while(a[j] > pivot)8             --j;   //j一直向前移动，直到出现a[j]<pivot9         if(i >= j) break;
10         swap(a,i,j);
11     }
12     a[l] = a[j];
13     a[j] = pivot;
14     return j;
15 }

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下面是 select 方法中，如果输入规模小于 75 时用到的插入排序算法代码：
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 1 private static void insertSort(int[] a, int law, int high) {    //插入排序2        for (int i = law + 1; i <= high; i++) {  3            int key = a[i];  4            int j = i - 1;  5            while (j >= law && a[j] > key) {  6                a[j + 1] = a[j];  7                j--;  8            }  9            a[j + 1] = key;
10        }
11 }

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适用于数组元素之间的 swap 方法如下：

1 private static void swap(int[] a,int i,int j){2     int temp = a[i];
3     a[i] = a[j];
4     a[j] = temp;
5 }

各位可能有个疑问，为什么输入规模不足 75 时调用插入排序而不用线性时间选择呢？那是因为当输入规模不足 75 时，因为输入规模太小，时间复杂度几乎是一个常量，因此没有必要用到比较复杂的线性时间选择算法。

我还看到一个比较好懂的学习线性时间选择的动画，能形象地看到线性时间选择的执行过程，链接如下：

http://resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-22e8911b-0122-e8912643-048d&objectId=oid:ff808081-22e8911b-0122-e8912643-048e

如果有不足之处或者对该算法有更好的建议，请提出！