捷联惯导系统学习2.2（方向余弦）

一方向余弦矩阵：

1：过渡矩阵
参数说明
ib,jb,kbi_b,j_b,k_bib,jb,kb为oxb,oyb,ozb(b系)ox_b,oy_b,oz_b(b系)oxb,oyb,ozb(b系)上的单位矢量
ii,ji,kii_i,j_i,k_iii,ji,ki为oxi,oyi,ozi(i系)ox_i,oy_i,oz_i(i系)oxi,oyi,ozi(i系)上的单位矢量
(i系)用(b系)表示为：
ib=(ib∗ii)ii+(ib∗ji)ji+(ib∗ki)kii_b=(i_b*i_i)i_i+(i_b*j_i)j_i+(i_b*k_i)k_iib=(ib∗ii)ii+(ib∗ji)ji+(ib∗ki)ki
jb=(jb∗ii)ii+(jb∗ji)ji+(jb∗ki)kij_b=(j_b*i_i)i_i+(j_b*j_i)j_i+(j_b*k_i)k_ijb=(jb∗ii)ii+(jb∗ji)ji+(jb∗ki)ki
kb=(kb∗ii)ii+(kb∗ji)ji+(kb∗ki)kik_b=(k_b*i_i)i_i+(k_b*j_i)j_i+(k_b*k_i)k_ikb=(kb∗ii)ii+(kb∗ji)ji+(kb∗ki)ki
化为矩阵：
[ibjbkb]=[iijiki][ib∗iiib∗jiib∗kijb∗iijb∗jijb∗kikb∗iikb∗jikb∗ki]=[iijiki]P\left[ \begin{matrix} i_b & j_b& k_b \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} i_i & j_i& k_i \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_b*i_i& i_b*j_i&i_b*k_i \\ j_b*i_i & j_b*j_i &j_b*k_i\\ k_b*i_i & k_b*j_i &k_b*k_i\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} i_i & j_i & k_i \\ \end{matrix} \right]P [ibjbkb]=[iijiki]⎣⎡ib∗iijb∗iikb∗iiib∗jijb∗jikb∗jiib∗kijb∗kikb∗ki⎦⎤=[iijiki]P
PPP为过渡矩阵(或基变换阵)
P=[ib∗iiib∗jiib∗kijb∗iijb∗jijb∗kikb∗iikb∗jikb∗ki]P=\left[ \begin{matrix} i_b*i_i& i_b*j_i&i_b*k_i \\ j_b*i_i & j_b*j_i &j_b*k_i\\ k_b*i_i & k_b*j_i &k_b*k_i\\ \end{matrix} \right]P=⎣⎡ib∗iijb∗iikb∗iiib∗jijb∗jikb∗jiib∗kijb∗kikb∗ki⎦⎤
2：方向余弦
假设一个三维矢量，
V=Vxi∗ii+Vyi∗ji+Vzi∗ji=Vxb∗ib+Vyb∗jb+Vzb∗jbV=V^i_x*i_i+V^i_y*j_i +V^i_z*j_i=V^b_x*i_b+V^b_y*j_b+V^b_z*j_bV=Vxi∗ii+Vyi∗ji+Vzi∗ji=Vxb∗ib+Vyb∗jb+Vzb∗jb
V在 (i系)(b系)上的投影分别为：Vi;VbV^i;V^bVi;Vb
Vi=[VxiVyiVzi]V^i=\left[ \begin{matrix} V^i_x \\ V^i_y\\ V^i_z \\ \end{matrix} \right]Vi=⎣⎡VxiVyiVzi⎦⎤
Vb=[VxbVybVzb]V^b=\left[ \begin{matrix} V^b_x \\ V^b_y\\ V^b_z \\ \end{matrix} \right]Vb=⎣⎡VxbVybVzb⎦⎤
可以得到[iijiki][VxiVyiVzi]=[iijiki]P[VxbVybVzb]\left[ \begin{matrix} i_i & j_i& k_i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} V^i_x \\ V^i_y\\ V^i_z \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} i_i & j_i& k_i \\ \end{matrix} \right]P\left[ \begin{matrix} V^b_x \\ V^b_y\\ V^b_z \\ \end{matrix} \right][iijiki]⎣⎡VxiVyiVzi⎦⎤=[iijiki]P⎣⎡VxbVybVzb⎦⎤
得到：Vi=PVB=CbiVbV^i=PV^B=C_b^iV^bVi=PVB=CbiVb
Cbi=P(P为正交矩阵)C_b^i=P (P为正交矩阵)Cbi=P(P为正交矩阵)
因为P中每个元素均为两个两个坐标系的余弦值所以称CbC_bCb为方向余弦阵
即
Cb=[ib∗iiib∗jiib∗kijb∗iijb∗jijb∗kikb∗iikb∗jikb∗ki]=[cosθxboxicosθxboyicosθxbozicosθyboxicosθyboyicosθybozicosθzboxicosθzboyicosθzbozi]C_b=\left[ \begin{matrix} i_b*i_i& i_b*j_i&i_b*k_i \\ j_b*i_i & j_b*j_i &j_b*k_i\\ k_b*i_i & k_b*j_i &k_b*k_i\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} cos \theta_{x_box_i}& cos \theta_{x_boy_i}&cos \theta_{x_boz_i}\\ cos \theta_{y_box_i}& cos \theta_{y_boy_i}&cos \theta_{y_boz_i}\\ cos \theta_{z_box_i}& cos \theta_{z_boy_i}&cos \theta_{z_boz_i}\\ \end{matrix} \right] Cb=⎣⎡ib∗iijb∗iikb∗iiib∗jijb∗jikb∗jiib∗kijb∗kikb∗ki⎦⎤=⎣⎡cosθxboxicosθyboxicosθzboxicosθxboyicosθyboyicosθzboyicosθxbozicosθybozicosθzbozi⎦⎤

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