#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边

int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew

int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点

void prim(int start)
{int sumweight=0;int i,j,k=0;for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始{lowcost[i]=edge[start][i];addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外

     }addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew

     adjecent[start]=start;for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        {int min=MAX;int v=-1;for(j=1;j<VNUM;j++)                                      {if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径

            {min=lowcost[j];v=j;}}if(v!=-1){printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中

sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和for(j=1;j<VNUM;j++){if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      {lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew需要更新lowcost

                    adjecent[j]=v;                             }}}}printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

typedef struct
{        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数
}MGraph; typedef struct node
{  int u;                                                 //边的起始顶点   int v;                                                 //边的终止顶点   int w;                                                 //边的权值
}Edge; void kruskal(MGraph G)
{  int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通   Edge E[EdgeNum];                                         //存放所有的边   k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   for (i=0;i<G.n;i++)  {  for (j=0;j<G.n;j++)  {  if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  {  E[k].u=i;  E[k].v=j;  E[k].w=G.edges[i][j];  k++;  }  }  }     heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列       for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   {  vset[i]=i;  }  k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数   j=0;                                                   //E中的下标   while (k<G.n)  {   sn1=vset[E[j].u];  sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树   {printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       k++;  for (i=0;i<G.n;i++)  {  if (vset[i]==sn2)  {  vset[i]=sn1;  }  }             }  j++;  }
}