打印杨辉三角&二项式展开式各项系数

C语言实现
- 法一：数学排列组合公式法
- 法二：找规律法，二维数组，通俗易懂
- 法三：法二优化，一维数组
- 法四：递归
Java实现
Python实现

(a + b)²
= a² + 2ab + b²
展开式各项系数为1 2 1

(a + b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
展开式各项系数为1 3 3 1

(a + b)⁴
= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
展开式各项系数为1 4 6 4 1

(a + b)⁵
……
……
(a + b)ⁿ =

杨辉三角：

每行两侧永远是 1，中间每个数都是它头顶左右两个数之和

C语言实现

法一：数学排列组合公式法

使用数学排列组合数公式法，是通过阶乘运算来求得每行数据的

特点： 使用了数学公式和子函数
缺点： 多次嵌套 for 循环，时间复杂度较大，阶乘数太大，有行数限制

#include <stdio.h>
long Comb(int m, int n){  //求组合数子函数long mFactorial = 1;long n_mFactorial = 1;if(m == 0)return 1;else if(m == n)return 1;else{for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)n_mFactorial *= i;for(int i = 1; i <= m; i++)mFactorial *= i;return (n_mFactorial / mFactorial);}
}
int main(){int N;printf("请输入所要打印的杨辉三角的行数(1~13): ");scanf("%d",&N);for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = N - 1 - i; j >= 1; j--)printf("     ");for(int j = 0; j <= i; j++)printf("%  ld       ",Comb(j, i));putchar('\n');}return 0;
}

调试：打印行数限制在13行以内，大于13行结果不正确，原因是阶乘的数太大，超出了整型的数据存储范围

法二：找规律法，二维数组，通俗易懂

上面已经提到了规律：每行两侧永远是 1，中间每个数都是它头顶左右两个数之和。借助这个规律来打印杨辉三角，可以节省很多算力，时间复杂度较低

#include <stdio.h>
int main(){int N;int a[24][24];a[0][1] = 1;for(int i = 0; i < 24; i++)a[i][0] = 0;for(int i = 1; i < 24; i++)a[i][i+1] = 0; printf("请输入打印杨辉三角的行数（1~23）:");scanf("%d",&N);for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = N - i; j > 0; j--)printf("    ");for(int j = 1; j <= i; j++){a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j];printf(" %7d",a[i][j]);}putchar('\n');}return 0;
}

运行：

法三：法二优化，一维数组

从法二中推导出一个简化的算法，放入一维数组中

#include <stdio.h>
int main(){int N, c, d; int a[24]={0,1};   //第二十三行有23个数，加上第一个0，总共24，初始化前两个0和1 //后面所有的数都是由这前两个数计算得来 printf("请输入杨辉三角形的行数（1 ~ 23）：");scanf("%d",&N);for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = N - i; j >= 1; j--)printf("    ");d = 0;for(int j = 1; j <= i; j++){c = a[j];a[j] = d + c;d = c;printf(" %7d", a[j]);   }printf("\n");}return 0;
}

以上代码可以修改，增加数组长度可以增加打印杨辉三角的行数

法四：递归

递归调用，函数本身不断调用自己。递归调用思维性技巧性比较强，代码也比较简短，但其空间复杂度较大，因为其不断调用自己本身这个函数，在内存中不断开辟函数入口，占内存较大，由于计算机计算速度较快，我们并不能感受到。这个算法建立在前面两个算法之上

#include <stdio.h>
int fun(int a, int b){      //函数的递归调用，函数自己不断调用自己，产生多个子函数程序入口，并返回值相加//函数的程序入口为一个内存地址 return (b == 1 || b == a) ? 1 : fun( a - 1, b - 1 ) + fun( a - 1, b ); //三目条件运算符的应用
}
int main(){int N; printf("请输入杨辉三角形的行数（1 ~ 23）：");scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = N - i; j > 0; j--)printf("    ");for(int j = 1; j <= i; j++)printf(" %7d", fun(i, j));putchar('\n');   //单个转义字符putchar输出 }return 0;
}

调试：

Java实现

Java语言实现，采用C语言中的法三

import java.util.Scanner;
public class Example {public static void main(String args[]){System.out.print("请输入打印杨辉三角的行数(1~23行):");Scanner input = new Scanner(System.in);int N = input.nextInt();int a[] = new int[24];a[0]=0;a[1]=1;int c, d;for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = N - i; j >= 1; j--)System.out.printf("    ");d = 0;for(int j = 1; j <= i; j++){c = a[j];a[j] = d + c;d = c;System.out.printf(" %7d", a[j]);    }System.out.println();}}
}

Python实现

在python中并没有数据类型存储数据范围的限制，所以可以用数学公式法来打印，行数也会不受到限制

def factorial(a, b):fact = 1for i in range(a, b + 1):fact *= ireturn factdef comb(m, n):if m == 0:return 1elif m == n:return 1else:return factorial(n - m + 1, n)/factorial(1, m)n = int(input("请输入打印杨辉三角的行数:"))
for i in range(0, n):for j in range(n - 1 - i, 0, -1):print("    ", end='')for j in range(0, i + 1):print("%7d " % comb(j, i), end='')print()

运行：

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