背包DP | 01背包问题

01背包问题：有n件物品，每一件物品的重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？

如果采用暴力枚举法，每一件物品有两种选择：放入背包 / 不放入背包。因此 n 件物品有 $2^n$ 种选择结果。时间复杂度为 $O(2^n)$ 太糟糕了。而是用动态规划问题可以大大降低时间复杂度！

1、算法分析

令 dp[ i ] [ j ] 表示在前 i 件物品中选取部分物品，能放入背包容量为 j （可以不装满）的最大价值（最优解）。其中： $1\leq i\leq n,0\leq j\leq V$ 。那么如何求解最优解呢？下面考虑对第 i 件物品的选择策略：

情况1：j < w[ i ]

不可能放入放第 i 件物品：那么问题就转化为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j 的最优解

情况2： j >= w[ i ]

不放第 i 件物品：那么问题就转化为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j 的最优解
放第 i 件物品：那么问题就转化为为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j - w[ i ] 的最优解 + c[ i ]

状态转移方程如下：

当 i = 0 或 j = 0（边界条件）： $dp[i][j] = 0$
当 $1\leq i\leq n$

$w[i]\leq j\leq V$ ： $dp[i][j] = max (dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + c[i])$
$1 \leq j < w[i]$ ： $dp[i][j] = dp[i-1][j]$

最终答案就储存在 dp[n][V] 中。

2、过程示例

对于n = 5， V = 10 的情况 :

最终的答案就是 dp[5][10] = 19

代码实现

#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100
#define MAXV 100/* 01背包问题：有n件物品，没意见的物品重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。* 现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，* 使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？ */int fun(int n, int v, int w[], int c[]) {int dp[MAXN][MAXV] = {0};for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为当前可选物品for (int j = 1; j <= v; j++) {  //j为最大容量if (w[i] > j)dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]);}return dp[n][v];
}

3、时间复杂度分析

虽然说使用了动态规划，但是其实其理论上依旧是一个指数时间的算法。01背包问题是一个NP完全问题，至今未能找到指数时间的算法实现~

注意：《算法笔记》书上对dp数组的定义是 dp[ i ] [ j ] 表示在前 i 件物品中选取部分物品，恰能放入背包容量为 j （必须装满）的最大价值。本质区别就在于，讨论的情况是否装满！这个代码效率会高一点，但是理解起来有难度...还没想通...总觉得有点毛病..先不整理了（给自己挖个坑