完全背包问题：有n种物品，每一件的物品重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？（每一种物品均有无穷件）

完全背包与01背包的区别

完全背包与背包DP | 01背包问题的唯一区别就在于：01背包问题每一种物品只有一件，你只能选择0件或1件。而完全背包问题每一种物品有无穷件，对于同一种物品你可以同时选取1件、2件...只要不超过容量V即可。

1、算法分析

令 dp[ i ] [ j ] 表示在前 i 种物品中选取部分物品，能放入背包容量为 j （可以不装满）的最大价值（最优解）。其中 $1\leq i\leq n,0\leq j\leq V$ 。那么如何求解最优解呢？下面考虑对第 i 种物品的选择策略：

情况1：j < w[ i ]

不可能放入放第 i 种物品：那么问题就转化为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j 的最优解

情况2： j >= w[ i ]

不放第 i 种物品：那么问题就转化为前 i - 1种物品恰好装入背包容量为 j 的最优解
放第 i 种物品：那么问题就转化为为前 i 种物品恰好装入背包容量为 j - w[ i ] 的最优解 + c[ i ]

（注意：这里选择放入第 i 种物品的选择之前，可能也是放入了第 i 种物品的！）

状态转移方程如下：

当 i = 0 或 j = 0（边界条件）： $dp[i][j] = 0$
当 $1\leq i\leq n$

$w[i]\leq j\leq V$ ： $dp[i][j] = max (dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + c[i])$
$1 \leq j < w[i]$ ： $dp[i][j] = dp[i-1][j]$

最终答案就储存在 dp[n][V] 中

2、过程示例

对于n = 5， V = 10 的情况 :

3、代码实现

#include <algorithm>
#include <cstdio>using namespace std;
#define MAXN 100
#define MAXV 100/* 完全背包问题：有n种物品，每一件的物品重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。* 现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，* 使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？（每一种物品均有无穷件） */int fun(int n, int v, int w[], int c[]) {int dp[MAXN][MAXV] = {0};for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为当前可选物品for (int j = 1; j <= v; j++) {  //j为最大容量if (w[i] > j)dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w[i]] + c[i]);}return dp[n][v];
}

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背包DP | 完全背包问题

1、算法分析

2、过程示例

3、代码实现

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