2.若矩阵Ａ的第一行不全为０)

\(A = \begin{bmatrix}

0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

-a_{12} & & & \\

\vdots & & B & \\

-a_{1n} & & & \\

\end{bmatrix}\)

不妨设\(a_{12} \not= 0\)，可对Ａ实施初等变换如下：

\(A_2=Q_2^TAQ_2 =

\begin{bmatrix}

a_{12}^{-1} & & & \\

& 1 & & \\

& & \ddots & \\

& & & 1 \\

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

-a_{12} & & & \\

\vdots & & B & \\

-a_{1n} & & & \\

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

a_{12}^{-1} & & & \\

& 1 & & \\

& & \ddots & \\

& & & 1 \\

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

0 & 1 & \dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \\

-1 & & & \\

\vdots & & B_2 & \\

-a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \\

\end{bmatrix}\)

再取\(Q_j = \begin{bmatrix}

1 & & & & & \\

& 1 & \dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & \dots & 0 \\

& & \ddots & & & \\

& & & 1 & & \\

& & & & \ddots & \\

& & & & & 1 \\

\end{bmatrix} \qquad s.t. 3 \leq j \leq n\)

可得\(A_n = Q_n^T \dots Q_3^TA_2Q_3 \dots Q_n = \begin{bmatrix}

0 & 1 & \\

-1 & 0 & \\

& & B_n \\

\end{bmatrix}\)

由于所作为对称式的变换，所以B_n依旧为反对称矩阵，所以存在n-2阶可逆矩阵S使得\(S^TBS = \begin{bmatrix}

0 & 1 & & & & & & \\

-1 & 0 & & & & & & \\

& & \ddots & & & & & \\

& & & 0 & 1 & & & \\

& & & -1 & 0 & & & \\

& & & & & 0 & & \\

& & & & & & \ddots & \\

& & & & & & & 0 \\

\end{bmatrix}\)

令\(Q = Q_2 \dots Q_n\)且\(S' = \begin{bmatrix}

I_2 & 0 \\

0 & S \\

\end{bmatrix}\)，此处\(I_2\)为２阶单位矩阵

则有\(Q^TS^TASQ = \begin{bmatrix}

0 & 1 & & & & & & \\

-1 & 0 & & & & & & \\

& & \ddots & & & & & \\

& & & 0 & 1 & & & \\

& & & -1 & 0 & & & \\

& & & & & 0 & & \\

& & & & & & \ddots & \\

& & & & & & & 0 \\

\end{bmatrix}\)

所以Ａ是Ｄ的合同矩阵。