互质与欧拉函数学习笔记

互质

定义：

​ \(\forall a,b\in \N\) ，若 \(gcd(a,b)=1\) ，则称 \(a,b\) 互质。

积性函数

定义：

​ 如果 \(a,b\) 互质时，有 \(f(ab)=f(a)*f(b)\) ，那么称函数 \(f\) 为积性函数。

性质：

​ 若 \(f\) 为积性函数，且在算数基本定理中， \(n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}\) ，则 \(f(n)=\prod\limits_{i=1}^m f(p_i^{c_i})\) 。

欧拉函数

定义：

​ \(1\sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 \(\varphi(N)\) 。

若在算数基本定理中， \(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\) ，则： \(\varphi(N)=N*\frac{p_1-1}{p_1}*\frac{p_2-1}{p_2}\cdots\frac{p_m-1}{p_m}=N*\prod\limits_{质数p\mid N}(1-\frac{1}{p})\) 。

证明：

​ 设 \(p\) 是 \(N\) 的质因子， \(1\sim N\) 中 \(p\) 的倍数共有 \(N/p\) 个。同理，若 \(q\) 也是 \(N\) 的质因数，则 \(1\sim N\) 中 \(q\) 的倍数有 \(N/q\) 个。若我们将这 \(N/p+N/q\) 个数去掉，那么 \(p*q\) 的倍数被排除了两次，需要加回来一个。因此，根据容斥原理， \(1\sim N\) 中不与 \(N\) 含公共质因子 \(p\) 或 \(q\) 的数的个数为：

​ \(N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})\)

​ 类似的，我们对于 \(N\) 的全部质因子使用容斥原理，即可得到 \(\varphi(N)\) 。

性质

\(\forall n>1,1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数之和为 \(n*\varphi(n)/2\) 。

若 \(a,b\) 互质，则 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) 。

设 \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\) ，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*p\) 。

设 \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\not|n\) ，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*(p-1)\) 。

\(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\) 。

证明：

​ 因为 \(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\) ，所以与 \(n\) 不互质的数 \(x,n-x\) 成对出现，平均值为 \(n/2\) 。因此，与 \(n\) 互质的数的平均值也是 \(n/2\) ，性质 \(1\) 成立。

​ 根据欧拉函数的计算式，因为 \(gcd(a,b)=1\) ，所以它们没有除了 \(1\) 以外的公约数，计算时不会重复出现 \((1-\frac{1}{p})\) ，性质 \(2\) 成立。

​ 若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\) ，则 \(n,n/p\) 包含相同的质因子，按照欧拉函数的计算公式，两者相除商为 \(p\) ，性质 \(3\) 成立。

​ 若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\not|n\) ，则 \(gcd(n,n/p)=1\) ，由 \(\varphi\) 是积性函数得 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*\varphi(p)\) 。其中 \(\varphi(p)=p-1\) ，性质 \(4\) 成立。

​ 设 \(f(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) 。用乘法分配率展开比较，再利用 \(\varphi\) 是积性函数，得到：若 \(gcd(n,m)=1\) ，则 \(f(nm)=\sum\limits_{d|nm}\varphi(d)=(\sum\limits_{d|n}\varphi(d))*(\sum\limits_{d|m}\varphi(d))=f(n)*f(m)\) 。即 \(f\) 是积性函数，对于单个质因子， \(f(p^m)=\sum\limits_{d|p^m}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^m)\) 是一个等比数列求和再加 \(1\) ，结果为 \(p^m\) 。所以 \(f(n)=\prod\limits_{i=1}^m f(p_i^{c_i})=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}=n\) ，性质 \(5\) 成立。

例题

题面

Solution

分析题目可以发现，除了 \((1,0)\) ， \((0,1)\) 和 \((1,1)\) 三个点之外，一个钉子 \((x,y)\) 能被看到，当且仅当 \(gcd(x,y)=1\) 时成立。

由于能看到的钉子明显是关于 \(y=x\) 这条直线对称的，所以我们只需要求其中一半即可。对于该坐标系的右下方可以看到的钉子，满足对于每个 \(2\leq x\leq N\) 都有 \(1\leq y

综上所述，本题的答案就是 \(3+2*\sum\limits_{i=2}^N\varphi(i)\) 。我们要做的就是求出 \(2\sim N\) 中每个数的欧拉函数。

Code

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define ll long long

using namespace std;

templatevoid read(T &x)

{

x=0;char k=getchar();int f=1;

for(;k>'9'||k

for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=x*10+k-'0';

x*=f;

}

int n,ans;

int prime[40005],tot,phi[40005];

bool is_not_pr[40005];

inline void prepare()

{

phi[1]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)

{

if(!is_not_pr[i])

{

prime[++tot]=i;

phi[i]=i-1;

}

for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]

{

is_not_pr[i*prime[j]]=1;

if(i%prime[j]==0)

{

phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];

break;

}

else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];

}

}

}

int main()

{

read(n);

if(n==1) printf("0");

else

{

prepare();

for(int i=2;i

printf("%d\n",ans*2+3);

}

return 0;

}

总结

这一部分的题要善于问题转化，将问题化简为可做的模式，同时它的拓展——莫比乌斯反演也是比较重要的一类题，要抽时间去看一下。