3.3 费马质数测试

说实话，费马质数测试是有点坑的，并不能保证这个数真的是一个质数。费马质数测试的理论依据是费马小定理Fermat’s little theorem。费马小定理的内容是，对于一个质数p，和一个与他互质的数a，有下列关系：
ap−1≡1modpa^{p-1}\equiv 1\;mod\;p ap−1≡1modp
好消息是大部分合数都不能通过费马测试，只有少数合数能通过费马测试，这类数叫做卡迈克尔数Carmichael numbers，比如3∗11∗17=5613*11*17=5613∗11∗17=561就是个卡迈克尔数。至于指数，可以用二进制快速幂计算指数。
在编程中，一般是随机选择五个数字进行费马测试。如果通过了就认为这个数字很大可能为质数。
以下是python实现：

# _*_ coding:utf-8 _*_
import randomdef binary_exponentiation(base, power):power_2 = 1r = 1p = basewhile (power_2 := power_2 << 1) <= power:p = p * pif power_2 & power != 0:r *= preturn rdef is_prim(n):if n <= 4:return n == 2 or n == 3for i in range(5):a = random.randint(2, n)r = binary_exponentiation(a, (n - 1)) % nif r != 1:return Falsereturn Trueif __name__ == '__main__':print(is_prim(10000))print(is_prim(911))print(is_prim(561))print(is_prim(341))

我这四个数字的测试结果是：

False
True
True
False

341是不能通过费马小定理测试的。但是我在某度百科看到了这样一个结论：

希望大家擦亮眼睛，自己多写写代码去验证，毕竟权威也是会出错的。

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