0x01 普遍形式

费马素数也叫费马质数。

其中 n 为非负整数。

0x02 历史

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：

可以看出，前4个是质数，因为第5个数实在太大了，费马认为是质数。

由此提出（费马没给出证明），形如的数都是质数的猜想。后来人们就把形如的数叫费马数。

1732年，欧拉算出第五个费马数 4294967297 = 641 × 6700417 不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。

以后，人们又陆续找到了不少反例：

此后人们对更多的费马数进行了研究。

随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。

但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。

迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外没有再发现一个。

实际上，几千年来，数学家们一直在寻找这样的一个能求出所有质数的公式，但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在或者这样的公式存不存在，这也就成了一个著名的数学难题。

虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明了如果费马数K为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周K等分。高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形。

知乎 - 《高斯作出正 17 边形的依据是什么？》

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