4.1 费马质数分解

RSA算法的基础就是对于两个大质数的乘积进行质因数分解是非常慢的。比如对于一个300位的十进制数字进行质因数分解，普通电脑需要上百万年时间。但是如果这两个大质数比较接近，那使用费马质数分解就不需要几百万年了。
对于一个奇合数n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q，可以写成一个平方差：
n=p⋅q=(p+q2)2−(p−q2)2n=p\cdot q=(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2 n=p⋅q=(2p+q)2−(2p−q)2
费马质因数分解算法，就是不停地循环尝试，找到两个数：
a=p+q2b=p−q2a=\frac{p+q}{2}\\ b=\frac{p-q}{2} a=2p+qb=2p−q
找到这两个数之后a+ba+ba+b和a−ba-ba−b就是p和q了。我们知道n=a2−b2=(a+b)(a−b)n=a^2-b^2=(a+b)(a-b)n=a2−b2=(a+b)(a−b)。我们让a从⌈n⌉\lceil\sqrt{n}\rceil⌈n⌉开始尝试，不断+1，直到a2−na^2-na2−n是一个平方数为止。
需要注意的是这对于奇合数才有用，因为偶数的话，分解出来的两个数如果是一奇一偶，则相加除于2不是一个整数。单次分解的复杂度是O(∣p−q∣)O(|{p-q}|)O(∣p−q∣)，在实际应用中费马质数分解的效率其实不高，因为实际上两个质因数相近（∣p−q∣|{p-q}|∣p−q∣比较小）的情况是比较少见的。
Python代码如下：

# _*_ coding:utf-8 _*_
import mathdef fermat(n):a = math.ceil(math.sqrt(n))# b的平方b2 = a * a - nb = round(math.sqrt(b2))while b * b != b2:a += 1b2 = a * a - nb = round(math.sqrt(b2))print(a, b, n)return a - b, a + bdef factorization(n):factors = []stack = [n]while len(stack) > 0:x = stack.pop()if x == 2:factors.insert(0, x)continuep, q = fermat(x) if x & 1 == 1 else (2, x // 2)if p == 1:factors.insert(0, q)else:stack.append(p)stack.append(q)return factorsif __name__ == '__main__':print(factorization(200))

测试结果为：

[2, 2, 2, 5, 5]

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