数学建模竞赛知识点汇总（一）—

文章目录

简介
步骤
- 建立层次结构模型
构造判断矩阵
- 计算权重
- - 算术平均值法
  - 几何平均值法
  - 特征值法
- 一致性检验
- 合并排序
层次分析法的局限性
后续

简介

层次分析法(AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

步骤

建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策方案，按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图(使用SmartArt生成)。

最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；
中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；
最低层(方案层)：决策时的备选方案；

构造判断矩阵

一致矩阵法，即：

1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。

2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵元素 aija_{ij}aij 的标度方法

计算权重

算术平均值法

将判断矩阵按照列归一化
将归一化的各列相加
将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

假设判断矩阵 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤,
那么算术平均法求得的权重向量
ωi=1n∑j=1naij∑k=1nakj\omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}} ωi=n1j=1∑n∑k=1nakjaij

(i=1,2,⋯,n)(i=1,2, \cdots, n) (i=1,2,⋯,n)

几何平均值法

将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
将新的向量的每个分量开n次方
对该列向量进行归一化

假设判断矩阵
A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤
那么几何平均法求得的权重向量
ωi=(∏j=1naij)1n∑k=1n(∏j=1nakj)1n,(i=1,2,⋯,n)\omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}, \quad(i=1,2, \cdots, n) ωi=∑k=1n(∏j=1nakj)n1(∏j=1naij)n1,(i=1,2,⋯,n)

特征值法

求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
对特征向量归一化

一致性检验

只有通过了一致性检验，才能够使用计算出的权重

定义一致性指标：
CI=λ−nn−1RI=CI1+CI2+⋯+CINN=λ1+λ2+⋯+λN500−nn−1CI=\dfrac{\lambda-n}{n-1}\\ RI=\dfrac{CI_1+CI_2+\dots+CI_{N}}{N}=\dfrac{\dfrac{\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_N}{500}-n}{n-1} CI=n−1λ−nRI=NCI1+CI2+⋯+CIN=n−1500λ1+λ2+⋯+λN−n
λ：最大特征根；n：唯一非零特征根
CR=CIRICR=\dfrac{CI}{RI} CR=RICI
当一致性比率CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围内，有满意的一致性，通过一致性检验。

合并排序

∑i=1maibj\sum_{i=1}^{m}a_ib_{j} i=1∑maibj

根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

层次分析法的局限性

评价的决策层不能太多，否则判断矩阵和一致矩阵的差异会很大
如果决策层中的指标数据是已知的，就不适用

后续

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