Dijkstra算法(单源最短路径)

单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前,必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路,

假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V,停止。

代码实现:

  1 /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/
  2
  3 #include <iostream>
  4 #include<stack>
  5 #define M 100
  6 #define N 100
  7 using namespace std;
  8
  9 typedef struct node
 10 {
 11     int matrix[N][M];      //邻接矩阵
 12     int n;                 //顶点数
 13     int e;                 //边数
 14 }MGraph;
 15
 16 void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点
 17 {
 18     int i,j,k;
 19     bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
 20     for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化
 21     {
 22         if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
 23         {
 24             dist[i]=g.matrix[v0][i];
 25             path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
 26         }
 27         else
 28         {
 29             dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻,则权值置为无穷大
 30             path[i]=-1;
 31         }
 32         visited[i]=false;
 33         path[v0]=v0;
 34         dist[v0]=0;
 35     }
 36     visited[v0]=true;
 37     for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次
 38     {
 39         int min=INT_MAX;
 40         int u;
 41         for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点
 42         {
 43             if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
 44             {
 45                 min=dist[j];
 46                 u=j;
 47             }
 48         }
 49         visited[u]=true;
 50         for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值
 51         {
 52             if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
 53             {
 54                 dist[k]=min+g.matrix[u][k];
 55                 path[k]=u;
 56             }
 57         }
 58     }
 59 }
 60
 61 void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点
 62 {
 63     stack<int> s;
 64     int u=v;
 65     while(v!=v0)
 66     {
 67         s.push(v);
 68         v=path[v];
 69     }
 70     s.push(v);
 71     while(!s.empty())
 72     {
 73         cout<<s.top()<<" ";
 74         s.pop();
 75     }
 76 }
 77
 78 int main(int argc, char *argv[])
 79 {
 80     int n,e;     //表示输入的顶点数和边数
 81     while(cin>>n>>e&&e!=0)
 82     {
 83         int i,j;
 84         int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w
 85         MGraph g;
 86         int v0;
 87         int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
 88         int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
 89         for(i=0;i<N;i++)
 90             for(j=0;j<M;j++)
 91                 g.matrix[i][j]=0;
 92         g.n=n;
 93         g.e=e;
 94         for(i=0;i<e;i++)
 95         {
 96             cin>>s>>t>>w;
 97             g.matrix[s][t]=w;
 98         }
 99         cin>>v0;        //输入源顶点
100         DijkstraPath(g,dist,path,v0);
101         for(i=0;i<n;i++)
102         {
103             if(i!=v0)
104             {
105                 showPath(path,i,v0);
106                 cout<<dist[i]<<endl;
107             }
108         }
109     }
110     return 0;
111 }

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