第二周讲完了Klingenberg的第一章Curves，做一点微小的笔记。
分成三个部分，本篇讲曲线的弧长参数；下一篇讲一般的Frenet标架及方程组；再下一篇讲二维三维空间曲线的curvature。

GTM51对入门者会难一些，因为直接从最一般的nnn维情况入手，再回头看二三维空间中的曲线，相比之下 Calculus and Analysis in Euclidean Space 这本UTM的Chapter 8 Parametrized Curves 算是相当新手友好的入门内容，由二三维曲线推广到一般情况。

借用宋老师的话，微分几何的本质是几何，主要通过微积分的手段，用数和函数来刻画几何图形的性质。可能在学习的时候会觉得明明很直观，几何画出来就是这样的，但是要用规范的严格语言说出来很困难。所以说也是一个打基础的课程，先学会怎样严格的表述，在这基础之上才能正确的使用微积分这个工具。

2.1 参数曲线(Parametrized Curves)

Definition 2.1.1 参数曲线是指一个光滑映射(smooth mapping)：c:I→Rnc: I \rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn 这里n≥1n \geq 1n≥1, I⊆RnI\subseteq \mathbb{R}^nI⊆Rn 且非空。
更进一步，如果 ∀t∈I,c′(t)≠0\forall t\in I, c'(t)\neq0∀t∈I,c′(t)=0，称这样的曲线是正则的(regular).

也就是说我们平时说的“曲线”，其实是一个映射，平时说“点在曲线上”，是指这一点，如c(t)c(t)c(t)在这个映射的像集中。

我们一般都要求曲线是正则的，因为是光滑映射，所以导数不等于零⇔\Leftrightarrow⇔导数的范数不等于零，直观理解是这样的曲线是不会停下的，也因此我们可以用隐函数定理，反函数定理等。

如果III是不是开区间，定义的意思是，存在一个包含III的开区间I∗I^*I∗，使得c∗c^*c∗在I∗I^*I∗上是一个光滑映射，并且c∗∣I=cc^*|I=cc∗∣I=c，这样就解决了端点无定义的问题。

这里我们说的参数曲线都是“光滑”的，这个要求也太高了，不过现在考虑的都是很显然，一眼能够看明白的曲线，以后会逐步放宽。

Definition 2.1.2
i)切空间(Tangent Space):
对x0∈Rnx_0 \in \mathbb{R}^nx0∈Rn，切空间是指所有以x0x_0x0为起点的nnn维向量所构成的空间，记作Tx0RnT_{x_0} \mathbb{R}^nTx0Rn.

ii)沿着曲线ccc的向量场(Vector field along c:I→Rnc: I \rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn):
指一个可微映射X:I→RnX: I\rightarrow \mathbb{R}^nX:I→Rn，∀t∈I\forall t\in I∀t∈I，X(t)∈Tc(t)RnX(t) \in T_{c(t)} \mathbb{R}^nX(t)∈Tc(t)Rn.

iii)切向量场(Tangent vector field of c:I→Rnc: I \rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn):
指一个沿着ccc的向量场，其中在c(t)c(t)c(t)处的向量由切向量t↦c′(t)t \mapsto c'(t)t↦c′(t)给出。

这里主要是规定向量的起点位于什么地方。
切空间是相当于把x0x_0x0当成原点所建立的Rn\mathbb{R}^nRn空间，所有x0∈Rnx_0 \in \mathbb{R}^nx0∈Rn中向量起于x0x_0x0.
沿着曲线的向量场是指在曲线的每一点上都"生长"着一些向量，比如下图中所示那样：

图1：生长在曲线上的向量场

接下来一节讲讲弧长参数曲线(parametrization by arc length)，用曲线的弧长做参数，这样做可以简化计算过程。

2.2 弧长参数曲线(Parametrization by Arc Length)

Definition 2.2.1 如果一个映射ϕ:I→I′\phi: I\rightarrow I'ϕ:I→I′是光滑的，而且其逆映射ϕ−1:I′→I\phi^{-1}: I'\rightarrow Iϕ−1:I′→I也是光滑的，称映射ϕ\phiϕ是微分同胚(Diffeomorphism)

Definition 2.2.2(Equivalence of Curves) 两条曲线 c:I→Rnc: I \rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn 和 c~:I~→Rn\tilde{c} : \tilde{I} \rightarrow \mathbb{R}^nc~:I~→Rn 之间如果存在一个微分同胚 ϕ\phiϕ，使得 c~=c∘ϕ\tilde{c}=c\circ \phic~=c∘ϕ，则称ϕ\phiϕ是一个参数变换(parameter transformation).并且如果 ϕ′>0\phi'>0ϕ′>0，称这样的参数变换是保持定向的(orientation preserving) .

由参数变换所得的曲线构成一个所有 Rn\mathbb{R}^nRn中曲线的等价类（满足自反性(reflexive)，对称性(symmetric)和传递性(transitive)），给这个等价类起个名字叫做非参数化曲线(unparametrized curve).

其实我们可以把III看成是关于时间的集合，把c(t)c(t)c(t)看成一个空间中随时间运动的轨迹，这样c′(t)c'(t)c′(t)就是速度，而∣c′(t)∣|c'(t)|∣c′(t)∣则是速率。通过不同的参数变换，改变了质点沿曲线运动一定长度所需要的时间（区间III的长度），从而改变了质点运动的速率。我们特别关注的，是其中以单位速度运动的参数曲线，也就是∣c′(s)∣=1|c'(s)|=1∣c′(s)∣=1 的曲线。

Definition 2.2.3 (Arc length of a curve) 光滑曲线c:I→Rnc: I \rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn上两点t0,t∈I,t0<tt_0,t\in I, t_0 <tt0,t∈I,t0<t之间的弧长为：
L(t0,t)=∫t0t∣c′(τ)∣dτL(t_0,t)=\int_{t_0}^{t}|c'(\tau)|d\tauL(t0,t)=∫t0t∣c′(τ)∣dτ.

事实上，这个积分对于C1C^1C1及更好的曲线都是well-define的，但是对连续的曲线不一定对，因为存在在闭区间上长度无穷的连续曲线。

比如 y=sin1xy=sin\frac{1}{x}y=sinx1 在 x=0x=0x=0 附近非道路连通；

比如把[0,1][0,1][0,1]映射到[0,1]×[0,1[0,1]\times[0,1[0,1]×[0,1的皮亚诺曲线；

再比如可以构造出[0,1]→[0,1]×[0,1][0,1]\rightarrow [0,1]\times[0,1][0,1]→[0,1]×[0,1]的双射：https://www.zhihu.com/question/301263376

把有限弧长的连续曲线，称为可求长曲线(rectifiable curve)

Definition 2.2.4 (Parametrization by arc length) 曲线c(s)c(s)c(s)称为弧长参数化的，如果L(s0,s)=s−s0L(s_0,s)=s-s_0L(s0,s)=s−s0，等价的说，∣c′(s)∣=1,∀s∈I|c'(s)|=1, \forall s\in I∣c′(s)∣=1,∀s∈I.

试想，现在我们通过改变曲线的参数，使得之前需要通过复杂的含绝对值积分才能得到的弧长，现在只需要做差就能够得到。通过这种方式，让计算变得如此简单，如果对后面计算曲率的过程有了解，就能感觉到这是一件非常令人振奋的事情，而且要是能把任意曲线都弧长参数化，那这事已经好的不能再好了。

直觉上来说这事肯定是对的，因为弧长参数化的直观理解就是以单位速度沿着曲线运动，这只要曲线本身的光滑程度够就行。

那既然是以单位速度沿着曲线运动，我只要以弧长为参数不就好了吗？这样用原来给定参数曲线的弧长来做参数，经过一个单位时间，等于经过一个单位弧长，等于沿弧长以单位速度运动。太妙了。

接下来是本篇笔记铺垫到现在，为了阐述的主要命题：

Proposition 2.2.5 每一个正则曲线(Regular Curve)都等价于一个弧长参数化曲线。

Proof .
存在性：假设c:I→Rn,t↦c(t)c: I \rightarrow \mathbb{R}^n,t\mapsto c(t)c:I→Rn,t↦c(t)为一光滑曲线，我们想找一个c~:I~→Rn,s↦c~(s)\tilde{c}: \tilde{I} \rightarrow \mathbb{R}^n, s\mapsto \tilde{c}(s)c~:I~→Rn,s↦c~(s)，满足c(t)c(t)c(t)和c~(s)\tilde{c}(s)c~(s)的像集是一模一样的。
为此我们需要找一个映射ℓ:I→I~\ell: I\rightarrow\tilde{I}ℓ:I→I~. 之前我们考虑过，以ccc的弧长，来作为c~\tilde{c}c~的参数，也就是s=ℓ(t)=∫t0t∣c′(τ)∣dτs=\ell(t)=\int^{t}_{t_0}|c'(\tau)|d\taus=ℓ(t)=∫t0t∣c′(τ)∣dτ，写成交换图的形式：

因为ℓ′(t)=∣c′(t)∣>0\ell'(t)=|c'(t)|>0ℓ′(t)=∣c′(t)∣>0 (c is regular), 由反函数定理知道反函数存在且可导。这样，我们把交换图上边以ttt为参数的映射，转化成了下边以sss为参数的映射，接下来只需要验证∣c~′(s)∣=1|\tilde{c}'(s)|=1∣c~′(s)∣=1，由隐函数求导法则以及变上限函数的导数：
c′(t)=c~′(ℓ(t))=c~′(s)ℓ′(t)=c~′(s)∣c′(t)∣c'(t)=\tilde{c}'(\ell(t))=\tilde{c}'(s)\ell'(t)=\tilde{c}'(s)|c'(t)|c′(t)=c~′(ℓ(t))=c~′(s)ℓ′(t)=c~′(s)∣c′(t)∣
两边同时取绝对值，就得到了结论，存在性得证，并且知道c~(s)=c∘ℓ−1(s)\tilde{c}(s)=c \circ \ell^{-1} (s)c~(s)=c∘ℓ−1(s).
唯一性是显然的，假设有两条参数曲线都满足条件导数为1，因为是正则曲线，所以其导数可以去掉绝对值，同时积分。这样可以看出，参数起始于同一点的弧长参数化曲线是唯一的，证毕。

2.3 一般参数曲线化成弧长参数曲线的例子

怎么把一般参数曲线化成弧长参数曲线，其实在上面命题的证明中已经构造出来了。

数学证明很多时候是构造性的，怎么证明，就怎么使用；而有的证明只是用严格话的语言论述，说明条件满足某些定义，这种证明算是在教我们该怎么“说话”。二者都是需要的，但是对于推动数学进展来说，更重要的是前者，因为启发性更强，毕竟，好的证明使我们更加聪明。

这里求ℓ−1\ell^{-1}ℓ−1可能会是很困难的一步，因为ℓ\ellℓ本来是个积分函数，且变量在积分上限，这就意味着很多时候，我们只能在形式上表示出来，并不能真正求出ℓ−1\ell^{-1}ℓ−1（which mathematicians always say.）
举两个能求出来弧长参数化曲线的例子：

Example 2.3.1 c:R→R2c: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2c:R→R2, given by c(t)=(cos⁡et,sin⁡et)c(t)=(\cos e^t, \sin e^t)c(t)=(coset,sinet).

这个形式一看就跟圆脱不了关系，只是问题在于他不是以单位速度沿圆周运动的，那么将他弧长参数化之后，应该会变成标准圆的参数方程才对。

Solution:
先确定自变量的范围，这里t∈(−∞,∞)t\in(- \infty , \infty)t∈(−∞,∞),

s=ℓ(t)=∫−∞t∣c′(τ)∣dτ=∫−∞teτdτ=et,s∈(0,∞)s=\ell(t)=\int^t_{-\infty}|c'(\tau)|d\tau=\int^t_{-\infty}e^{\tau}d\tau=e^t, s\in(0,\infty)s=ℓ(t)=∫−∞t∣c′(τ)∣dτ=∫−∞teτdτ=et,s∈(0,∞)

所以t=ℓ−1(s)=ln⁡s,s∈(0,∞)t=\ell^{-1}(s)=\ln s,s\in(0,\infty)t=ℓ−1(s)=lns,s∈(0,∞).

最终的弧长参数化曲线为：
c~(s)=c∘ℓ−1(s)=(cos⁡s,sin⁡s).\tilde{c}(s)=c \circ \ell^{-1}(s)=(\cos s, \sin s).c~(s)=c∘ℓ−1(s)=(coss,sins).

这也印证了我们的想法。

Example 2.3.2 c:[π2,3π2]→R2c:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\rightarrow \mathbb{R}^2c:[2π,23π]→R2, given by c(t)=(t−sin⁡t,1−cos⁡t)c(t)=(t-\sin t,1-\cos t)c(t)=(t−sint,1−cost).

这里的曲线称为摆线(cycloid)，且θ\thetaθ取的是其中间的一段：

Solution:
s=ℓ(t)=∫π2t∣c′(τ)∣dτ=∫π2t(1−cos⁡τ)2−sin⁡2τdτ=∫π2t2sin⁡τ2dτs=\ell(t)=\int^t_{\frac{\pi}{2}}|c'(\tau)|d\tau=\int^t_{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(1-\cos \tau)^2-\sin^2 \tau}d\tau=\int^t_{\frac{\pi}{2}}2\sin \frac{\tau}{2}d\taus=ℓ(t)=∫2πt∣c′(τ)∣dτ=∫2πt(1−cosτ)2−sin2τdτ=∫2πt2sin2τdτ
⇒s=−4cos⁡t2+22,s∈[0,42],\Rightarrow s=-4\cos \frac{t}{2} +2\sqrt{2}, s\in[0,4\sqrt{2}],⇒s=−4cos2t+22,s∈[0,42],

因为在t2∈[π4,3π4]\frac{t}{2}\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]2t∈[4π,43π]上cos⁡\coscos函数导数恒不为0，反函数存在，所以最终：

c~(s)=c∘ℓ−1(s)=(t−sin⁡t,1−cos⁡t)\tilde{c}(s)=c \circ \ell^{-1}(s)=(t-\sin t,1-\cos t)c~(s)=c∘ℓ−1(s)=(t−sint,1−cost)

⇒c~(s)=(2arccos⁡22−s4−22−s8(22+s)2−2s2,2−2(22−s4)2).\Rightarrow \tilde{c}(s)=(2\arccos\frac{2\sqrt{2}-s}{4}-\frac{2\sqrt{2}-s}{8}\sqrt{(2\sqrt{2}+s)^2-2s^2}, 2-2(\frac{2\sqrt{2}-s}{4})^2).⇒c~(s)=(2arccos422−s−822−s(22+s)2−2s2,2−2(422−s)2).

我要知道结果会是这样，一开始我就不愿意求了。所以接下来的问题是有没有对一般非弧长参数适用的公式呢，这个问题将会在第四次笔记中讲到。

至此，曲线的参数化就讲完了，下一篇就初入微分几何的正题——Frenet标架。

参考：
[1]W. Klingenberg. A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.
[2]J. Shurman. Calculus and Analysis in Euclidean Space Undergraduate Texts in Mathematics,Springer-Verlag, 2016.
[3]厦门大学杨波老师的主页：http://math-faculty.xmu.edu.cn/display.aspx?tid=149

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