3.4 贝塞尔曲线

canvas提供了两个绘制贝塞尔曲线api:

• ctx.quadraticCurveTo(cpx, cpy, x, y);

二次贝塞尔曲线，(cpx, cpy)控制点 (x, y)终点

• ctx.bezierCurveTo(cp1x, cp1y, cp2x, cp2y, x, y);

三次贝塞尔曲线，(cp1x, cp1y)控制点一, (cp2x, cp2y)控制点二， (x, y)终点

题外话：

贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。最早用来辅助汽车车体的工业设计。
CSS3的transition-timing-function属性，取值就可以设置为一个三次贝塞尔曲线方程transition-timing-function: cubic-bezier(0.1, 0.7, 1.0, 0.1)。

canvas绘图示例：

// 二次
ctx.moveTo(200, 100);
ctx.quadraticCurveTo(230, 250, 350, 200);
// 三次
ctx.moveTo(450, 250);
ctx.bezierCurveTo(530, 150, 650, 300, 700, 200);

蓝色是控制点

问题一：
那canvas是如何通过控制点来绘制出曲线的，或者如果不用这个，自己绘制曲线该如何操作呢：

这个是n阶贝塞尔曲线的方程：

我们重点看二(三)阶方程：

B(t)是曲线上的点，t在0~1之间取值， P0起始点，P2终点，P1控制点
t从0~1之间取值不断增大，B(t)不断取出曲线上的点，从P0移至P1

const bx = (1-t)*(1-t)*start.x + 2*t*(1-t)*control.x + t*t*end.x;
const by = (1-t)*(1-t)*start.y + 2*t*(1-t)*control.y + t*t*end.y;

问题二：
我咋知道控制点该怎么选，特别是起终点动态数据时(也就是说，我们使用时，往往只知道起点P0终点P1)：

这个根据曲线斜率，可视化需求可能选取的方式不一致，不过大致原理相似
可以在起点和终点的垂直平分线上选一点作为控制点, 然后用一个参数来控制曲线的弯曲程度

// curveness 弯曲程度(0-1)
const cp = {x: ( start.x + end.x ) / 2 - ( start.y - end.y ) * curveness,y: ( start.y + end.y ) / 2 - ( end.x - start.x ) * curveness
};

题外话：

关于cp点的求解：
线段中点:
const mid = [ ( start.x + end.x) / 2, ( start.y + end.y ) / 2 ];
根据起点和终点也可以得到一个向量v:
const v = [ end.x - start.x, end.y- start.y ];
将这个向量顺时针旋转90度，得到一个垂直于它的向量v2:
const v2 = [ v.y, -v.x ];
那么中间控制点的坐标为(向量v2乘curveness加上中间点坐标)

const cp = { x: mid.x + v2.x curveness, y: mid.y + v2.y curveness} =
{ x:( start.x + end.x ) / 2 - ( start.y - end.y ) * curveness,
y:( start.y + end.y ) / 2 - ( end.x - start.x ) * curveness}