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第 章 　 　 绪 论

误 差 与 运 算 误 差 分 析

数值计算中误差的不可避免性

误差在数值计算中是不可避免的。也就是说 ，在数值方法中，绝大多数情况下不存在绝对

的严格和精确 。

有人会说 ，计算机科学的发展 ，为科学计算 以及数据处理提供 了高速和高精度 的计算工

具，但这只是 问题的一个方面 。不可否认 ，由于计算机技术的发展 ，许多复杂的数值计算 问题

都得到 了很好解决(这些 问题用手算是不可想象 的)，但计算机与任何计算工具一样 ，它所处理

的数值型数据只能是近似的，如果处理不当，这些近似的数据经过大量的运算后 ，其结果可能

会出现较大的偏差。实际上 ，在用计算机进行数值计算时，各个环节上都有可能产生误差。

为 了说 明数值计算过程 中误差 的来源 ，下面简单介绍在用计算机解决实际问题 的各个主

要步骤中所引进的各种误差。

构造数学模型

为了便于进行数值计算，一般首先需要将实际问题归纳为数学 问题，这就是常说的需要建

立一个合适 的数学模型 。

在将实际问题归纳为数学 问题时，通常总要附加许多限制 ，并且要忽略一些次要的因素 ，

以便建立起一个 “理想化”的数学模型 。因此 ，这样得到的数学模型实际上只是客观现象的一

种近似描述 。而这种经过归纳后 的数学描述上 的近似 ，必然也就引进 了误差 。这种数学描述

上的近似所引进的误差称为模型误差。

在将实际问题归纳为数学 问题的过程中，除了模型误差外，还有一种很重要的误差 。在构

造数学模型时，为了对 问题本身作抽象近似 ，除了忽略一些次要因素外，还需要对主要因素通

过实验观测取得各种有效数据 ，根据实验观测到的数据进行分析总结，从而确定数学模型中的

各种参数 。由于条件的限制 ，通过实验观测到的数据与真值之间往往是有一定差异的，这也就

给计算引进 了一定的误差 这种误差称为观测误差。

)制定解题方案 ，确 定计算 的近似 公式

数学模型建立后 ，计算机还不能直 接解决 。这是因为 ，对于计算机来说 ，只能作一些它所

规定的并且是有限次的运算或判断，以及在一些规定的设备上进行输入与输出。因此 ，还必须

为数学模型建立一个便于用计算机进行计算的近似公式 。

大家知道 ，许 多数学运算(如微分、积分与无 穷级数求和等 )是通过极 限过程来定义 的，而

实际上计算机只能完成有限次的算术运算与逻辑运算 。因此 ，在实际应用时，还需要将数学模

型变成实际可行的解题方案 ，即将数学模型加工成算术运算与逻辑运算 的有限序列 。而这种

加工又往往表现为对某种无穷过程的 “截断”或计算方法的近似 。例如，对于收敛的无穷级数，

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通常用它前面 的有 限项之和来近似代 替无穷级数 的和 ，实际上抛弃 了无穷级数后面 的无穷多

项 ，因此便产生 了误差 。又例如 ，用梯形公式计算积分的近似数 ，这方法本身就有一定的误差。

这类误差统称为方法误差或截断误差 。

上机计算

解题方案确定之后 ，就可 以通过某种工具来具体描述解题步骤 ，然后编制计算机程序 ，调

试通过后就可 以在计算机上正式运行 ，最后得到所需要的结果 。

虽然 ，计算机科学的发展 ，为科学计算 以及数据处理提供 了高速和高精度 的计算工具 ，但

计算机与任何计算工具一样 ，总是受有效数字 位数 的限制 、在进行数值计算时，其处理的数据

总是近似的。在计算机 中，任何数据都要转换成二进制形式才能进行处理 ，而绝大部分的数值

型数据是无法精确地用二进制形式表示的，也就是说 ，即使是一个准确的数 ，为了用计算机进

行处理 ，在转换成二进制数时也就变成近似的了 这就说 明，在计算机 中，参加运算 的数据 只

能具有有限位的有效数字 ，其超过部分将被系统处理掉 ，即产生了误差 。这种误差称为舍入误

差 。

由上所述 ，在数值计算过程中，误差的产生是不可避免的，其误差的类型也是各种各样的，

它们会直接影响到计算结果的准确性。

虽然数值计算中的误差是不可避免的，但是，在解决实际