一、实对称矩阵

实对称矩阵的几点性质：

1.特征值必是实数

2.不同特征值的特征向量必正交

3.必与对角矩阵相似

4.一定可以用正交矩阵相似对角化（满足的矩阵为正交阵），步骤如下

（1）求A的特征值λ1、λ2、λ3

（2）求特征向量α1、α2、α3

（3）改造特征向量

a. 如λi ≠ λj 只需要单位化

b. 如λi = λj

若(αi, αj) = 0，如需单位化

若(αi, αj) ≠ 0，施密特正交化

最终得到改造好的特征向量γ1、γ2、γ3两两垂直且都是单位向量

（4）构造正交矩阵

Q = (γ1, γ2, γ3)

二、二次型

1、二次型及其矩阵表示

二次型的矩阵必定是实对称矩阵即

2、标准型：只有平方项没有混合项的二次型

3、规范性：平方项系数为1、-1或0的标准型

4、正惯性指数：标准型的正平方项个数

负惯性指数：标准型的负平方项个数

5、二次型的秩：即二次型矩阵的秩

r(f) = r(A)

6、坐标变换

其中 |C|≠0，即矩阵C一定要可逆，才是坐标变换

7、合同如，其中C为可逆矩阵，称矩阵A和B合同，记做，合同的性质：

2.如果，则

3.如果，，则

合同是为了研究实对称矩阵、二次型而引入的，对一般的非实对称矩阵做合同变换意义不大。

下面说明为什么使用正交矩阵对二次型相似对角化可以将二次型图像不改变形状的前提下使其居正：

如果C为正交阵，且，（即C矩阵中的每个列向量都是A矩阵的特征向量，A矩阵可以用C矩阵进行相似对角化）：

1.图形居正：

如果C矩阵只是A矩阵的普通的特征向量组成的矩阵，那么仍然成立，但是，不一定成立，但是由于C矩阵不仅是特征向量组成的矩阵，而且是两两垂直的单位特征向量组成的矩阵，即正交阵，所以，所以一定成立，所以C矩阵进行坐标变换后，x=Cy后，

由上式可知，经过C坐标变换之后，系数阵为对角阵，即二次型只剩下平方项系数，故图形居正；

2.图形形状不变：

C为正交阵，每个列向量之间相互垂直，且模长为1，x=Cy变换后只改变平面所有向量的方向，不改变长度，即x=Cy为围绕坐标原点的单纯的旋转变换，故不改变图形形状。

定理：对任意都坐标变换x=Cy，使

证明思路1：因为A为实对称矩阵，所以必定可以用正交阵相似对角化，所以坐标变换的C取此正交阵即可，当然C是不唯一的，也可以用配方法取得。

定理：（惯性定理）对一个二次型经坐标变换为标准型，其正惯性指数和负惯性指数，都是唯一确定的

三、二次型正定

恒有，则成 f 为正定二次型， A为正定二次型矩阵。

正定（充要条件）

p=n (p为正惯性指数，n为矩阵A的阶数)

，即可逆矩阵C，使

A特征值，全大于0

（证明思路，相似对角化变换，无论变换的矩阵是哪一个（不唯一），只要矩阵中特征向量的顺序相同，结果都一样（即特征值分布在对角线上的对角阵），且这些矩阵中肯定有一个是正交阵，即 A合同于以特征值为对角线的对角阵，根据惯性定理，特征值全大于零，所以正惯性指数 = n，二次型正定）

A的顺序主子式全大于0

正定（必要条件）

A矩阵的对角线上的元素全大于0，即

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