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等值演算
¬,∨,∧,→,↔¬, \vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow¬,∨,∧,→,↔ 和 ⇒或⊨\Rightarrow 或 \models⇒或⊨，⇔或≡\Leftrightarrow 或 \equiv⇔或≡ 之间的关系
- 官方定义 ⇒或⊨\Rightarrow 或 \models⇒或⊨，⇔或≡\Leftrightarrow 或 \equiv⇔或≡
16 个基本等价式 / 命题定律
- 另一个版本
重言式的替换规则
证明公式有效性（valid） / 可满足性的（satisfiable）方法

等值演算

当两个公式具有相同的真值表的时候，我们可以进行等价替换而不对结果的真值产生影响。

Example

ppp	qqq	p→qp \rightarrow qp→q	¬p∨q¬p \vee q¬p∨q
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

从表格中可以看到 p→qp \rightarrow qp→q 和 ¬p∨q¬p \vee q¬p∨q 具有相同的真值表，因此，在任何情况下，这两个合式公式都可以看做是等价的 ≡\equiv≡ 或者 ⇔\Leftrightarrow⇔，即 (p→q)≡(¬p∨q)(p \rightarrow q) \equiv (¬p \vee q)(p→q)≡(¬p∨q)。

Note:

命题逻辑的知识点中我们使用两大类符号，一类叫做逻辑联结词 ¬,∨,∧,→,↔¬, \vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow¬,∨,∧,→,↔ 他们作用在合式公式的内部。
另外一类叫做元语言的符号：⇒或⊨\Rightarrow 或 \models⇒或⊨ （蕴含），⇔或≡\Leftrightarrow 或 \equiv⇔或≡ 等价，这些符号作用在两个合式公式之间，比如我们上面提到的 “等价” 就代表两个合式公式具有相同的真值。
那么上述的两类符号到底有什么联系呢？

¬,∨,∧,→,↔¬, \vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow¬,∨,∧,→,↔ 和 ⇒或⊨\Rightarrow 或 \models⇒或⊨，⇔或≡\Leftrightarrow 或 \equiv⇔或≡ 之间的关系

假设现在有两个合式公式：A:p→qA: p \rightarrow qA:p→q 和 B:¬p∨qB: ¬p \vee qB:¬p∨q 当我们说 A≡BA \equiv BA≡B 的时候，我们需要证明 A↔BA \leftrightarrow BA↔B 是一个 “重言式”，即 (p→q)↔(¬p∨q)(p \rightarrow q) \leftrightarrow (¬p \vee q)(p→q)↔(¬p∨q) 是个重言式。
类似地，假设现在有两个合式公式：A:p→qA: p \rightarrow qA:p→q 和 B:¬p∨qB: ¬p \vee qB:¬p∨q 当我们说 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 的时候，我们需要证明 A→BA \rightarrow BA→B 是一个 “重言式”，即 (p→q)→(¬p∨q)(p \rightarrow q) \rightarrow (¬p \vee q)(p→q)→(¬p∨q) 是个重言式。

官方定义 ⇒或⊨\Rightarrow 或 \models⇒或⊨，⇔或≡\Leftrightarrow 或 \equiv⇔或≡

对于一个合式公式 FFF，如果我们对它的命题变元的真值进行指派（assignment），如果指派的结果使得 FFF 命题的真值为 TTT，那么我们称这次指派 θ\thetaθ 是 FFF 的 model；用符号 ⊨\models⊨ 来表示
如果合式公式 FFF 的所有 model 都是合式公式 GGG 的 model，那么我们称 GGG 是 FFF 的一个 “逻辑推论（logical consequence）”，F⊨GF\models GF⊨G 或者 F⇒GF \Rightarrow GF⇒G 换句话说，如果所有使得 FFF 成真的指派，也都能保证 GGG 成真，那么 GGG 就是 FFF 的逻辑推论。
如果同时满足 F⊨GF\models GF⊨G 和 G⊨FG\models FG⊨F 那么我们称 FFF 和 GGG 具有相同的 models（成真指派），这时候我们也可以说 FFF 和 GGG 逻辑等价（logical equivalent）F≡GF \equiv GF≡G

16 个基本等价式 / 命题定律

另一个版本

这个版本里面所有的单条件蕴含都写成了 ⇒\Rightarrow⇒，其实应该是上一个版本中的 →\rightarrow→；所有的双条件蕴含都写成了 ⇔\Leftrightarrow⇔ ，对应上一个版本中的 ↔\leftrightarrow↔

重言式的替换规则

如果一个公式已知是重言式，那么将其内部的变元进行整体替换，得到的还是一个重言式。
例如，已知 A∨¬AA\vee ¬ AA∨¬A 是个重言式，那么我将 AAA 换成任意的变元组合 (p→q)∨¬(p→q)(p\rightarrow q)\vee ¬ (p\rightarrow q)(p→q)∨¬(p→q) 依然还是个重言式

证明公式有效性（valid） / 可满足性的（satisfiable）方法

如果要证明一个合式公式 AAA 是 unsatisfiableunsatisfiableunsatisfiable 的，那么就证明当且仅当（iffiffiff） ¬A¬ A¬A 是 validvalidvalid。
同样的，如果要证明 AAA 是 validvalidvalid，那么就证明当且仅当 ¬A¬ A¬A 是 unsatisfiableunsatisfiableunsatisfiable 的。

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