从牛顿-莱布尼兹公式到变限积分求导

2024-06-02 01:21:22

牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]连续，并且存在原函数F(x)F(x)F(x)，则F(x)=∫abf(x)dx .F(x) = \int_a^b f(x)dx\,.F(x)=∫abf(x)dx.
弱化条件
如果函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]有定义，并且满足以下条件
1.在区间[a,b][a,b][a,b]上可积；
2.在区间[a,b][a,b][a,b]上存在原函数F(x)F(x)F(x)；则F(x)=∫abf(x)dx .F(x) = \int_a^b f(x)dx\,.F(x)=∫abf(x)dx.
具体证明详见百度百科: link.

变限积分求导

如d(∫h(x)g(x)f(t)dt )/dx.d(\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt\,)/dx.d(∫h(x)g(x)f(t)dt)/dx.
其实只需要将h(x)h(x)h(x)和g(x)g(x)g(x)看作是常数来求就可以了
假设f(t)f(t)f(t)的原函数为F(t)F(t)F(t),则∫h(x)g(x)f(t)dt =F[g(x)]−F[h(x)].\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt\,=F[g(x)]-F[h(x)].∫h(x)g(x)f(t)dt=F[g(x)]−F[h(x)].
那么d(∫h(x)g(x)f(t)dt )/dx=d(F[g(x)]−F[h(x)])/dx=f[g(x)]g′(x)−f[h(x)]h′(x).d(\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt\,)/dx=d(F[g(x)]-F[h(x)])/dx=f[g(x)]g'(x)-f[h(x)]h'(x).d(∫h(x)g(x)f(t)dt)/dx=d(F[g(x)]−F[h(x)])/dx=f[g(x)]g′(x)−f[h(x)]h′(x).

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