合取式/合取范式/主合取范式/重言式/矛盾式基本概念

一、对偶式

在给定仅含有联结词¬、Λ和Ⅴ的命题公式A中，将联结词Ⅴ换成Λ，Λ换成Ⅴ，特殊变元Ｔ换成Ｆ，Ｆ换成Ｔ，由此得到新命题公式Ａ^＊，称为Ａ的对偶式。（A和Ａ^＊是互为对偶式）。

[例],¬PΛ（ＱⅤＲ）的对偶式为：¬PⅤ（ＱΛＲ）仅仅只要将Λ与Ⅴ互换即可。

二、文字/合取式/析取式

1.命题变元及其否定统称为文字

2.由若干个文字所组成的合取式，称为基本积，而每个文字称为合取项。

[例]，P,¬Q是含一个文字的基本积，PΛ¬P,PΛQ是含二个文字的基本积，PΛ¬QΛR是含有三个文字的基本积。

3.由若干个文字所组成的析取式，称为基本和，而每个文字称为析取项。

[例]，P,¬Q是含一个文字的基本和，PⅤ¬P,PⅤQ是含二个文字的基本和，PⅤ¬QⅤR是含有三个文字的基本和。

[注] 一个文字既可看作是基本积，也可以看作是基本和。

三、析取范式/合取范式

1.一个由基本积的析取组成的命题公式，称为析取范式。

即该命题公式具有形式A₁ⅤA₂……ⅤA_n_，其中A₁，A₂ ，……，A_n都是基本积。

[例],命题公式¬PⅤ(PΛQ)Ⅴ(PΛ¬QΛR) 是析取范式。

2.一个由基本和的合取组成的命题公式，称为合取范式。

即该命题公式具有形式B₁ΛB₂……ΛB_n_，其中B₁，B₂ ，……，B_n都是基本积。

[例],命题公式¬PΛ(PⅤQ)Λ(PⅤ¬QⅤR) 是合取范式。

四、极小项/主析取范式

1.在含有n个命题变元的基本积中，如果每个变元与其否定不同时存在，但二者之一必出现且仅出现一次，则这样的基本积称为极小项。

[例]，由两个命题变元P,Q构成的极小项有PΛQ、¬PΛQ、PΛ¬Q、¬PΛ¬Q，共四个。

[注]，因为每个命题变元以原形或其否定形式在极小项中出现且仅出现一次，因此，n个命题变元共有2ⁿ个不同的极小项。

2.对于给定的命题公式，若其析取范式的基本积均是极小项，则称该析取范式为命题公式的主析取范式。

五、极大项/主合取范式

1.在含有n个命题变元的基本和中，如果每个变元与其否定不同时存在，但二者之一必出现且仅出现一次，则这样的基本和称为极大项。

[例]，由两个命题变元P,Q构成的极大项有PⅤQ、¬PⅤQ、PⅤ¬Q、¬PⅤ¬Q，共四个。

[注]，因为每个命题变元以原形或其否定形式在极大项中出现且仅出现一次，因此，n个命题变元共有2ⁿ个不同的极大项。

2.对于给定的命题公式，若其合取范式的基本和均是极大项，则称该合取范式为命题公式的主合取范式。

六、重言式与矛盾式的主析取范式和主合取范式

先看下列简单的问题：

1.命题公式P→（Q→P）的主合取范式为。

解：根据蕴涵词的意义，当P为假时，P→（Q→P）为真；

当P为真时，Q→P为真，因而P→（Q→P）为真，所以P→（Q→P）永远为真，即P→（Q→P）是一个重言式。P→（Q→P）中总共有两个命题变元P和Q，因而对应有个不同的极大项，每个极大项对应着使得P→（Q→P）为假的一种赋值。现在P→（Q→P）不可能为假，所以P→（Q→P）的主合取范式中不能含有极大项，因而其主合取范式只能是一个不含极大项的空范式。我们约定：用1表示重言式的主合取范式。所以命题公式P→（Q→P）的主合取范式为 1 。

2、一般地，如果一个命题公式G中共有n个命题变元。每个变元有真和假两种不同的赋值。因而G总共有2n 种不同的赋值。对应着每一种赋值，都有一个极小项和极大项，极小项在对应的赋值下为真，极大项在对应的赋值下为假。如果G正好在m种赋值下为真，在另外的种赋值下为假，那么

使得G为真的m种赋值所对应的m个极小项的析取就是G的主析取范式，使得G为假的其他种赋值所对应的个极大项的合取就是G的主合取范式。

如果G是重言式，全部2n种赋值都使得G为真，因而所有的2n个极小项的析取是G的主析取范式。重言式G的主合取范式不含极大项，是空范式，就用1表示。

如果G是矛盾式，全部2n种赋值都使得G为假，因而所有的2n个极大项的合取是G的主合取范式。矛盾式G的主析取范式不含极小项，是空范式，就用0表示。

3、P→（Q→P）的主析取范式为

由P→（Q→P）对应的所有4个极小项的析取得到。

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