两个重要极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.x→0limxsinx=1.
补充：
lim⁡x→∞sin⁡xx=0.\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0. x→∞limxsinx=0.

分析：
当 x∈(0,δ)x \in (0, \delta)x∈(0,δ) 时，恒有以下式子成立：
sin⁡x≤x≤tan⁡x.\sin x \leq x \leq \tan x. sinx≤x≤tanx.
则当 (−δ,0)∪(0,δ)(-\delta, 0) \cup (0, \delta)(−δ,0)∪(0,δ) 时，
cos⁡x≤sin⁡xx≤1.\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1. cosx≤xsinx≤1.
由极限定义可知
lim⁡x→0cos⁡x=1.\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = 1. x→0limcosx=1.

则由“夹逼准则”可得
lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1. x→0limxsinx=1.

lim⁡x→∞(1+1x)x=e,\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e,x→∞lim(1+x1)x=e,
或
lim⁡x→0(1+x)1x=e.\lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 +x \right)^{\frac{1}{x}} = e. x→0lim(1+x)x1=e.

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